理论力学静力学与运动学补充（二）：点的复合运动 |
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理论力学静力学与运动学补充（二）：点的复合运动
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0 相关定义
动点： 所研究或感兴趣的运动质点绝对运动： 动点相对定参考系的运动相对运动： 动点相对动参考系的运动牵连运动： 动系相对定系的运动
分辨三种运动其实很简单，比如直线行驶自行车轮上一点的运动，动系选择车架，定系选在大地任意一处，那么牵连运动就是车架相对地面的直线运动，相对运动就是所研究的车轮那点相对车架做的圆周运动。直接研究轮子上动点的绝对运动比较复杂，而我们常识告诉我们通过相对运动和牵连运动来合成绝对运动是可能的。 1 牵连运动为了能够更好的描述牵连运动，引入了牵连点，关于牵连点的定义如下： 在动系中与动点重合的点为牵连点，该点的速度和加速度为牵连速度与牵连加速度。 书中的定义可能不太通俗易解，不妨先来看一个例子。例子可能不太现实主要帮助理解。假设一个大飞机，绕一点作匀速圆周运动，角速度为 w w w，圆周半径为 R R R。飞机内的乘客，在飞机内从飞机左侧朝右侧匀速直线运动前往厕所如图箭头所示。 动点选择乘客，动系选择飞机，定系建立在飞机所绕点处。我们可以知道，随着乘客的前进，牵连点在不断变化，牵连点在飞机内一直与乘客重合。 奥！这个时候是不是有点恍然大悟，为什么要引入这个牵连点？因为如果不作平移运动的话，刚体上每一点的速度和加速度都可能不同，正如下图的飞机，越靠前进方向右侧，线速度越大。乘客处在动系刚体上不同的位置可能获得不同的牵连速度，而我们只对动点感兴趣，因此我们为了合成动点的绝对运动，应该找到牵连点的速度和牵连点的加速度。 思考题：假设这名乘客患有尿频尿急，在行走过程中，直接脱下裤裤，边走边尿出一条抛物线，我们在地面看那么这尿的抛物线相对乘客前进方向偏左还是偏右，或者还是不偏呢？（左）看完加速度合成定理再来回味把。
2 速度合成定理
假设 x o y {xoy} xoy为定系， M M M为动点， x ′ o ′ y ′ {x'o'y'} x′o′y′为动系，其对应的 i j k ijk ijk分别为坐标轴的单位矢量。为了使得推导有一般性，我们现在处于任意时刻，此时牵连点 M ′ M' M′与 M M M重合。 牵连速度： v e = d ( r o o ′ + r o ′ M ′ ) d t = r ˙ o o ′ + d ( x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ ) d t = r ˙ o o ′ + x ′ i ′ ˙ + y ′ j ′ ˙ + z ′ k ′ ˙ v_e=\frac{d (r_{oo'}+r_{o' M'})}{dt}=\dot r_{oo'}+\frac{d(x'i'+y'j'+z'k')}{dt}=\dot r_{oo'}+x' \dot{i'}+y' \dot{j'}+z' \dot{k'} ve=dtd(roo′+ro′M′)=r˙oo′+dtd(x′i′+y′j′+z′k′)=r˙oo′+x′i′˙+y′j′˙+z′k′˙ 这步求导可能是让人迷惑的一点，其实 M ′ M' M′属于刚体上一点，该点速度只和他所在的位置有关系，和它位置的变化率是没有关系的，只和动系的变化有关。试着回去思考之前例子里飞机上乘客脚下那点速度和那个点的变化率是不是没有关系，因此牵连点在动系中的坐标是不显含时间的。 相对速度：
v
r
=
r
˙
o
′
M
=
d
(
x
′
i
′
+
y
′
j
′
+
z
′
k
′
)
d
t
=
x
′
˙
i
′
+
y
′
˙
j
′
+
z
′
˙
k
′
v_r=\dot r_{o' M}=\frac{d(x'i'+y'j'+z'k')}{dt}=\dot{x'} {i}'+\dot{y'} j'+\dot{z'} k'
vr=r˙o′M=dtd(x′i′+y′j′+z′k′)=x′˙i′+y′˙j′+z′˙k′ 求取相对速度时，动系坐标轴应该固定不动，单独观察相对速度。绝对速度：
v
a
=
d
{
r
o
o
′
+
r
o
′
M
}
d
t
=
r
˙
o
o
′
+
x
′
˙
i
′
+
y
′
˙
j
′
+
z
′
˙
k
′
+
+
x
′
i
′
˙
+
y
′
j
′
˙
+
z
′
k
′
˙
=
v
e
+
v
r
v_a=\frac{ d\{ r_{oo' } +r_{o' M}\} }{dt} =\dot r_{oo'}+\dot{x'} {i}'+\dot{y'} j'+\dot{z'} k'++x' \dot{i'}+y' \dot{j'}+z' \dot{k'}=v_e+v_r
va=dtd{roo′+ro′M}=r˙oo′+x′˙i′+y′˙j′+z′˙k′++x′i′˙+y′j′˙+z′k′˙=ve+vr 求取绝对速度时，动系与动点全都随时间变化。 结论： 牵连速度+相对速度=绝对速度
3 加速度合成定理
接着速度合成定理中的推导，我们可以得到牵连加速度： a e = d v e d t = r ¨ o o ′ + x ′ i ′ ¨ + y ′ j ′ ¨ + z ′ k ′ ¨ a_e=\frac{dv_e}{dt}=\ddot r_{oo'}+x' \ddot{i'}+y' \ddot{j'}+z' \ddot{k'} ae=dtdve=r¨oo′+x′i′¨+y′j′¨+z′k′¨ 相对加速度： a r = d v r d t = x ′ ¨ i ′ + y ′ ¨ j ′ + z ′ ¨ k ′ a_r=\frac{dv_r}{dt}=\ddot{x'} {i}'+\ddot{y'} j'+\ddot{z'} k' ar=dtdvr=x′¨i′+y′¨j′+z′¨k′绝对加速度： a a = d v a d t = r ¨ o o ′ + x ′ i ′ ¨ + y ′ j ′ ¨ + z ′ k ′ ¨ + x ′ ¨ i ′ + y ′ ¨ j ′ + z ′ ¨ k ′ + 2 ( x ′ ˙ i ′ ˙ + y ′ ˙ j ′ ˙ + z ′ ˙ k ′ ˙ ) = a e + a r + 2 w × v r a_a=\frac{dv_a}{dt}=\ddot r_{oo'}+x' \ddot{i'}+y' \ddot{j'}+z' \ddot{k'}+\ddot{x'} {i}'+\ddot{y'} j'+\ddot{z'} k'+2(\dot{x'} \dot{i'}+\dot{y'} \dot{ j'}+\dot{z'} \dot{k'})=a_e+a_r+2w \times v_r aa=dtdva=r¨oo′+x′i′¨+y′j′¨+z′k′¨+x′¨i′+y′¨j′+z′¨k′+2(x′˙i′˙+y′˙j′˙+z′˙k′˙)=ae+ar+2w×vr其中 w w w为动系转动角速度，推导上式利用了下式： 2 ( x ′ ˙ i ′ ˙ + y ′ ˙ j ′ ˙ + z ′ ˙ k ′ ˙ ) = 2 w × ( x ′ ˙ i ′ + y ′ ˙ j ′ + z ′ ˙ k ′ ) = 2 w × v r 2(\dot{x'} \dot{i'}+\dot{y'} \dot{ j'}+\dot{z'} \dot{k'})=2w \times (\dot{x'} {i'}+\dot{y'} { j'}+\dot{z'} {k'})=2w \times v_r 2(x′˙i′˙+y′˙j′˙+z′˙k′˙)=2w×(x′˙i′+y′˙j′+z′˙k′)=2w×vr 其中 2 w × v r 2w \times v_r 2w×vr为科氏加速度项，整理结论如下： a a = a r + a e + a c = a r + a e + 2 w × v r a_a=a_r+a_e+a_c=a_r+a_e+2w \times v_r aa=ar+ae+ac=ar+ae+2w×vr 如果动系为平移运动则 w = 0 w=0 w=0，没有科氏加速度。 4 非惯性系下质点的动力学方程在固定性系下的动力学方程： m ( a r + a e + a c ) = ∑ F m(a_r+a_e+a_c)=\sum F m(ar+ae+ac)=∑F 在非惯性动系下的动力学方程： m a r = − m a e − m a c + ∑ F = F e + F c + ∑ F ma_r=-ma_e-ma_c+\sum F=F_e+F_c+ \sum F mar=−mae−mac+∑F=Fe+Fc+∑F 5 基于旋转矩阵理解点的复合运动 5.1 速度合成定理设定系到动系的旋转矩阵为 R R R，那么动系中的一点 p m p_m pm，在定系下的坐标为 p s p_s ps，关系如下： p s = R p m p_s = R p_m ps=Rpm 易得绝对速度： p s ˙ = R p ˙ m + R ˙ p m \dot{p_s} = R\dot{p}_m+\dot{R} p_m ps˙=Rp˙m+R˙pm 其中 R ˙ p m \dot{R} p_m R˙pm为牵连速度，该速度与动系的速度以及动点在动系位置有关。 其中 R p ˙ m R\dot{p}_m Rp˙m为相对速度，该速度为动点相对动系的速度在定系中的表示。 5.2 加速度合成定理继续求导： p s ¨ = R p ¨ m + R ¨ p m + 2 R ˙ p ˙ m = R p ¨ m + R ¨ p m + 2 w × R p ˙ m \ddot{p_s} = R\ddot{p}_m+\ddot{R} p_m+2\dot{R} \dot{p}_m= R\ddot{p}_m+\ddot{R} p_m+2w \times R \dot{p}_m ps¨=Rp¨m+R¨pm+2R˙p˙m=Rp¨m+R¨pm+2w×Rp˙m 其中 R ¨ p m \ddot{R} p_m R¨pm为牵连加速度，该加速度与动系的加速度以及动点在动系位置有关。 其中 R p ¨ m R\ddot{p}_m Rp¨m为相对加速度，该速度为动点相对动系的加速度在定系中的表示。 其中 R ¨ p m \ddot{R} p_m R¨pm为牵连加速度，该加速度与动系的加速度以及动点在动系位置有关。 其中 2 w × R p ˙ m 2w\times{R}\dot{p}_m 2w×Rp˙m为科氏加速度，其值为旋转角速度叉乘相对速度。 |
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