球面距离的计算及其计算公式

在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线） 如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点，O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，

AB 小圆弧长r l α'=2

r

a R

r R l L '='=ααα22 （1） 但αα'==sin 2sin 2r R AB ，即α

αsin sin '

=r R （2）

将（2）代入（1）得ααα

αα

ααsin sin sin sin ''

='?'=a l L （3） ∵ r R >，由（2）式知αα>'.由于2

0π

αα

x x f sin =

在??

?

?

?

2.

0π内为单调递减即可. ∴ ()()

0tan cos sin cos 2

2

-=

'x

x x x x

x

x x x f ,

∵当???

?

?∈2,

0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在??

?

??2,0π单调递减, 由（3）式不难得到

1

L ，即l L

球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点 的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有

()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ?+-=（弧度）

A 、

B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ?+-==R R L

证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、

AB . 则()2

212

212

OO OO O O AE

-==()2

21sin sin ββR R -=()2212

sin sin ββ-=R

在BE O 2?中，由余弦定理，得：()21222

22

22

cos 2αα-?++=B O E O B O E O BE

()21212

22

1cos 2αα-?-+=B O A O B O A O

()()()21212

22

1cos cos cos 2cos cos ααββββ-??-+=R R R R