下面将列出常用正交坐标系下的第二类曲线、曲面积分的直接计算公式。以下默认被积函数为对应正交坐标系下形如 f ⃗ = ( P , Q , R ) \vec{f}=(P,Q,R) f ​=(P,Q,R) 的矢量函数。

第二类曲线积分是在有向曲线的弧长上对矢量函数进行积分。

假定积分区域为 Γ : { x = x ( s ) y = y ( s ) z = z ( s ) ( s ∈ ( s ‾ , s ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧​x=x(s)y=y(s)z=z(s)​(s∈(s​,s)) 并规定 ( x s ′ , y s ′ , z s ′ ) (x_s',y_s',z_s') (xs′​,ys′​,zs′​) 的方向为正方向，则有 ∫ Γ f ⃗ ( x , y , z ) ⋅ d l ⃗ = ∫ Γ P d x + Q d y + R d z = ∫ s ‾ s ‾ ( P x s ′ + Q y s ′ + R z s ′ ) d s \int_{\Gamma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}(Px_s'+Qy_s'+Rz_s')\mathrm{d}s ∫Γ​f ​(x,y,z)⋅dl =∫Γ​Pdx+Qdy+Rdz=∫s​s​(Pxs′​+Qys′​+Rzs′​)ds 特殊地，若积分区域可以表示为 Γ : { x = x ( z ) y = y ( z ) z = z ( z ∈ ( z ‾ , z ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{array}\right.\\ (z\in(\underline{z},\overline{z})) Γ:⎩⎨⎧​x=x(z)y=y(z)z=z​(z∈(z​,z)) 并规定 ( x z ′ , y z ′ , 1 ) (x_z',y_z',1) (xz′​,yz′​,1) 的方向为正方向，则有 ∫ Γ f ⃗ ( x , y , z ) ⋅ d l ⃗ = ∫ Γ P d x + Q d y + R d z = ∫ z ‾ z ‾ ( P x z ′ + Q y z ′ + R ) d z \int_{\Gamma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\\ =\int_{\underline{z}}^{\overline{z}}(Px_z'+Qy_z'+R)\mathrm{d}z ∫Γ​f ​(x,y,z)⋅dl =∫Γ​Pdx+Qdy+Rdz=∫z​z​(Pxz′​+Qyz′​+R)dz

假定积分区域为 Γ : { r = r ( s ) θ = θ ( s ) ϕ = ϕ ( s ) ( s ∈ ( s ‾ , s ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \theta=\theta(s)\\ \phi=\phi(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧​r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)​