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一、柱坐标及与直角坐标之间的关系

三重积分的柱坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述. 比如，当xOy面上的坐标分量用极坐标描述、z不变的柱坐标与直角坐标之间的关系为

其中θ的取值由点在xOy面上的投影点所在的象限确定。关系图如图1所示。

各坐标变量等于0时对应的坐标面图形分别为：

θ=0：zOx面包含z轴和x正半轴的半平面

ρ=0：z轴

z=0：xOy面，即极坐标面

各坐标变量取常值时对应的曲面分别为：

θ=θ0：由zOx面上的θ=θ0对应的射线和z轴确定的半平面；

ρ=ρ0：中心轴为z轴，与z轴的距离为ρ0的圆柱面；

z=z0：与xOy面，即极坐标面平行的平面。

具体形状与点的位置关系如图2所示。

二、球坐标与球坐标系及与直角坐标之间的转换

空间点P(x,y,z)的位置可由r,φ,θ这三个数确定，并称这三个数为点P的球坐标，一般记作(r,φ,θ)；称由原点及球坐标确定的坐标系为球坐标系. 如图3.

当r=0,φ=0, θ=0，其对应的图形分别为原点、z轴、过x轴正半轴和z轴的半平面.

当r=r0,φ=φ0,θ= θ0，对应的图形分别为以原点为球心、半径为r0的球面；以原点为顶点、中心轴为z、空间点对应的向径与z轴正向夹角为φ0的半圆锥面；过z轴和过空间点在xOy面上的投影点对应的向径的半平面. 这样三个曲面的交点就对应由(r0,φ0,θ0)所描述点的位置，如图4.

空间点直角坐标与球坐标之间的关系为：

θ取值由点在xOy面上的投影点位于xOy面的象限所确定.

三、球坐标系下区域的分类

设在球坐标系中有空间立体区域Ω，如果在Ω上的点可能的(φ, θ)的取值范围内，以坐标原点为起点做射线（即φ,θ取为常数时，半平面与半锥面的交线）穿过区域内部，如果射线与区域边界曲面的交点不多于两个，则称区域Ω为φθ-型区域（为简单起见，也可称为关于r的区域）；如果所有穿经区域Ω内部的射线进入区域时与区域边界曲面的交点都在由一个关于变量φ,θ的表达式描述的曲面上，穿出区域时与边界曲面的交点都在由一个关于变量φ,θ的表达式描述的曲面上，则称之为球坐标系中的简单φθ-型区域，如图5.

类似地，在Ω上的点可能的(r,φ)的取值范围内，任取r,φ分别做圆心为原点，半径为r的球面和顶点在原点，中心轴为z轴，锥面上的点对应的向径为z轴正半轴的夹角为φ的半圆锥面，则两者的交线（圆）从z轴的正向看逆时钟穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为r,φ-型区域；如果入点对应的角度θ可以用一个关于变量r,φ的函数表达式描述，出点对应的角度θ也可以用一个关于变量r,φ的函数表达式描述，则称之为简单r,φ-型区域，如图6.

同样，在上的点可能的(r,θ)的取值范围内，任取r,θ分别做球面和半平面，则半平面与球面的交线从上到下穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为r,θ型区域；如果入点对应的角度φ可以用一个关于r,θ的函数表达式描述，出点对应的角度φ可以用一个关于r,θ的函数表达式描述，则称之为简单rθ-型区域，如图7.

四、空间区域的球坐标不等式描述

考虑到球坐标系下描述的复杂性，一般在球坐标系中只考虑φθ-型区域. 下面以简单φθ-型区域为例，来考察如何获取其球坐标变量的不等式描述形式.

假设空间区域Ω上的点对应角度θ∈[θ1,θ2]，任取θ∈(θ1, θ2)，设它对应的半平面与区域Ω相交的平面区域为D(θ)，D(θ)上点的φ取值的最小值随着θ的不同可以表示为φ=φ1(θ)，最大值可以表示为φ=φ2(θ)，如图8，则可以得到如下确定简单φθ-型区域球坐标变量不等式描述形式的步骤：

第一步：写出所有围成区域Ω的边界曲面的球坐标方程。如果边界曲面方程为直角坐标方程，则借助于球坐标与直角坐标之间的变换关系式，转换直角坐标方程为球坐标方程。

第二步：将区域Ω投影到xOy面上，借助于xOy面上极坐标确定极角范围的方法确定θ的范围，设为

第三步：任取θ∈(θ1,θ2)做半平面与区域Ω相交，得到相交的平面区域D(θ)，通过取φ从0连续变化到π，得半圆锥面与区域D(θ)的边界线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ1(θ)，半圆锥面离开区域D(θ)时与边界曲线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ2(θ)，则得

其中θ, φ的关系式可以通过球坐标系中边界曲面交线对应的方程组消去r变量得到。

第四步：对于确定的θ, φ，半平面与圆锥面的交线（从原点出发的射线），从原点出发进入区域D(θ)，与边界线的交点位置为r=r1(θ,φ)（内边界曲面的球坐标方程）；交线穿出区域D(θ)，与边界线的交点位置为r=r2(θ,φ)（外边界曲面的球坐标方程），从而可得

如图8。

于是，可得简单φ,-型区域的球坐标变量不等式描述形式为

【注】对于不为简单类型的区域，一般用可考虑使用r,φ,等于可取值范围内的常数对应的球面、锥面和半平面对区域进行分割，将其分割为相应的简单区域类型。

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