洛必达法则的陷阱：点可导和区间可导(原因：洛必达法则是柯西中值的极限形式)

f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 , f ′ ′ ( 0 ) 存 在 且 不 等 于 零 以 一 阶 导 数 肯 定 是 存 在 且 连 续 的 lim ⁡ x → 0 x f ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t + x f ( x ) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) + x f ′ ( x ) 2 f ( x ) + f ′ ( x ) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) x + f ′ ( x ) 2 f ( x ) x + f ′ ( x ) ( 这 一 步 出 错 了 ) 如 果 从 导 数 的 定 义 理 解 ： 其 极 限 为 0 点 的 导 数 “ 值 ” , 而 不 是 f ′ ( x ) 在 趋 于 零 的 极 限 并 且 0 / 0 型 不 能 分 开 计 算 ， 不 能 带 入 导 数 值 洛 必 达 法 则 角 度 ： 同 样 洛 必 达 法 则 是 求 “ 值 ” （ 函 数 的 极 限 ） 而 非 某 个 函 数 ( 如 果 不 带 入 值 实 际 上 多 了 一 个 变 量 ξ ) = lim ⁡ x → 0 f ′ ( x ) + f ′ ( x ) 2 f ′ ( x ) + f ′ ( x ) ( 这 一 步 出 错 了 ) = 2 3 f(0)=f'(0)=0,f''(0)存在且不等于零\\ 以一阶导数肯定是存在且连续的\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x} f(t)dt+xf(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2 f(x)+f'(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}(这一步出错了)\\ 如果从导数的定义理解：其极限为0点的导数“值”,而不是f'(x)在趋于零的极限\\ 并且0/0型不能分开计算，不能带入导数值\\ 洛必达法则角度：同样洛必达法则是求“值”（函数的极限）而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)+f'(x)}{2f'(x)+f'(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3}\\ f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的x→0lim​∫0x​f(t)dt+xf(x)xf(x)​=x→0lim​2f(x)+f′(x)f(x)+xf′(x)​=x→0lim​2xf(x)​+f′(x)xf(x)​+f′(x)​(这一步出错了)如果从导数的定义理解：其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算，不能带入导数值洛必达法则角度：同样洛必达法则是求“值”（函数的极限）而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=x→0lim​2f′(x)+f′(x)f′(x)+f′(x)​(这一步出错了)=32​

lim ⁡ x → 0 f ( x ) x + f ′ ( x ) 2 f ( x ) x + f ′ ( x )   lim ⁡ x → 0 f ( x ) x 2 + f ′ ( x ) x 2 f ( x ) x 2 + f ′ ( x ) x   极 限 存 在 ， 分 母 不 为 零 ， 可 分 开 计 算 极 限 lim ⁡ x → 0 f ( x ) x 2 + lim ⁡ x → 0 f ′ ( x ) x lim ⁡ x → 0 2 f ( x ) x 2 + lim ⁡ x → 0 f ′ ( x ) x = 3 2 f ′ ′ ( 0 ) 2 f ′ ′ ( 0 ) = 3 4 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}\\ \ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}\\ \ 极限存在，分母不为零，可分开计算极限\\ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}{\lim_{x\rightarrow 0}2\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}\\ =\frac{\frac{3}{2}f''(0)}{2f''(0)}=\frac{3}{4} x→0lim​2xf(x)​+f′(x)xf(x)​+f′(x)​ x→0lim​2x2f(x)​+xf′(x)​x2f(x)​+xf′(x)​​ 极限存在，分母不为零，可分开计算极限limx→0​2x2f(x)​+limx→0​xf′(x)​limx→0​x2f(x)​+limx→0​xf′(x)​​=2f′′(0)23​f′′(0)​=43​