极限的四则运算和洛必达法则的使用条件 |
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洛必达法则的陷阱:点可导和区间可导(原因:洛必达法则是柯西中值的极限形式) x0处的二阶导数存在,可以推出一阶导数在x0处连续。 并不能推出一阶导数在x0的邻域内还连续的。 n阶导数存在只能使用n-1阶洛f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 , f ′ ′ ( 0 ) 存 在 且 不 等 于 零 以 一 阶 导 数 肯 定 是 存 在 且 连 续 的 lim x → 0 x f ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t + x f ( x ) = lim x → 0 f ( x ) + x f ′ ( x ) 2 f ( x ) + f ′ ( x ) = lim x → 0 f ( x ) x + f ′ ( x ) 2 f ( x ) x + f ′ ( x ) ( 这 一 步 出 错 了 ) 如 果 从 导 数 的 定 义 理 解 : 其 极 限 为 0 点 的 导 数 “ 值 ” , 而 不 是 f ′ ( x ) 在 趋 于 零 的 极 限 并 且 0 / 0 型 不 能 分 开 计 算 , 不 能 带 入 导 数 值 洛 必 达 法 则 角 度 : 同 样 洛 必 达 法 则 是 求 “ 值 ” ( 函 数 的 极 限 ) 而 非 某 个 函 数 ( 如 果 不 带 入 值 实 际 上 多 了 一 个 变 量 ξ ) = lim x → 0 f ′ ( x ) + f ′ ( x ) 2 f ′ ( x ) + f ′ ( x ) ( 这 一 步 出 错 了 ) = 2 3 f(0)=f'(0)=0,f''(0)存在且不等于零\\ 以一阶导数肯定是存在且连续的\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x} f(t)dt+xf(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2 f(x)+f'(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}(这一步出错了)\\ 如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f'(x)在趋于零的极限\\ 并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值\\ 洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)+f'(x)}{2f'(x)+f'(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3}\\ f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的x→0lim∫0xf(t)dt+xf(x)xf(x)=x→0lim2f(x)+f′(x)f(x)+xf′(x)=x→0lim2xf(x)+f′(x)xf(x)+f′(x)(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=x→0lim2f′(x)+f′(x)f′(x)+f′(x)(这一步出错了)=32 正解lim x → 0 f ( x ) x + f ′ ( x ) 2 f ( x ) x + f ′ ( x ) lim x → 0 f ( x ) x 2 + f ′ ( x ) x 2 f ( x ) x 2 + f ′ ( x ) x 极 限 存 在 , 分 母 不 为 零 , 可 分 开 计 算 极 限 lim x → 0 f ( x ) x 2 + lim x → 0 f ′ ( x ) x lim x → 0 2 f ( x ) x 2 + lim x → 0 f ′ ( x ) x = 3 2 f ′ ′ ( 0 ) 2 f ′ ′ ( 0 ) = 3 4 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}\\ \ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}\\ \ 极限存在,分母不为零,可分开计算极限\\ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}{\lim_{x\rightarrow 0}2\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}\\ =\frac{\frac{3}{2}f''(0)}{2f''(0)}=\frac{3}{4} x→0lim2xf(x)+f′(x)xf(x)+f′(x) x→0lim2x2f(x)+xf′(x)x2f(x)+xf′(x) 极限存在,分母不为零,可分开计算极限limx→02x2f(x)+limx→0xf′(x)limx→0x2f(x)+limx→0xf′(x)=2f′′(0)23f′′(0)=43 |
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