驻点以及二阶导对驻点的判断 |
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一、导数知识可以参考
导数、偏导数、梯度、方向导数、梯度下降、二阶导数、二阶方向导数 二、微积分中几种重要的点1、全局最大值点和全局最小值点 global minimum:在该点的函数值达到最小值。一个函数可能有1个或者多个全局最小值点。 global maximum:在该点的函数值达到最大值。一个函数可能有1个或者多个全局最大值点。 2、局部最小值点和局部最大值点 local minimum:在该点的函数值比周围点的函数值都要小。在附近移动极小步不会使函数值下降。 local maximum:在该点的函数值比周围点的函数值都要大。在附近移动极小步不会使函数值上升。 3、驻点(临界点)和鞍点 critical points / stationary points:对于一元函数,一阶导数为0的点叫做驻点(临界点),对于多元函数,驻点是所有一阶偏导数都为零(梯度向量为零向量)的点。驻点包括三种情况:最小值点(局部/全局)、最大值点(局部/全局)、鞍点。 saddle points:鞍点是驻点的一种情况。如果驻点既不是最小值点也不是最大值点,那么为鞍点。 可参考下图理解一元函数中的驻点的三种情况: 可参考下图理解多元函数的各种鞍点: 马鞍点:(函数 中的点(0,0,0))(形状类似马鞍) 另一种鞍点:(函数 中的点(0,0,0)) 另外一种鞍点:(函数中的点(0,0,0)) 三、二阶导对驻点(critical points) 的判断 当一阶导数为 0 或者梯度向量为零向量时,该点为驻点,如何判断该驻点是局部最小值点还是局部最大值点还是鞍点呢?我们可以利用二阶导数判断。 1、一元函数: 一阶导数二阶导数点类型最小值点最大值点鞍点或者平线中的一点一元函数的情况比较容易理解,就不多做解释了。 2、多元函数: 一阶偏导数Hessian矩阵二阶方向导数点类型所有特征值>0所有二阶方向导数都>0最小值点所有特征值 |
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