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预备知识　球坐标系的定义， 四象限 Arctan 函数

　　 根据球坐标的定义，可得两种坐标之间的变换关系

\begin{align}&\begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{cases}&(1)\\\end{align}

\begin{align}&\left\{\begin{aligned} r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }\\ \phi &= \operatorname{Arctan} (y, x) \end{aligned}\right.&(2)\\\end{align}

其中 \operatorname{Arctan} 函数的定义见式 1 ． 以及两组基底之间的变换关系 \begin{align}&\begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = - \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{cases}&(3)\\\end{align}

\begin{align}&\begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} - \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{cases}&(4)\\\end{align}

推导 　　 把空间中一点 P 的位矢 r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} 分解为垂直于 xy 平面的分量 z = r\cos \theta 和 xy 平面的分量 r\sin \theta． 后者又可以进而分解成 x 分量 和 y 分量 x = r\sin \theta \cos \phi， y = r\sin \theta \sin \phi， 这就得到了式 1 ． 　　 在直角坐标系中， 有 r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}， 代入式 1 中的三条关系，就可以很容易解出式 2 中的三条关系． 　　 现在推导变换关系（式 3 ）．由于 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 都是关于 (r, \theta, \phi) 的函数，所以在考察一点 (r, \theta, \phi) 时， \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} 的球坐标是 (1, \theta, \phi)， 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{align}&(\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta)&(5)\\\end{align}

写成矢量的形式，就是 \begin{align}&\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}&(6)\\\end{align}

至于式 3 的第二条式子，在同一个球坐标 (r,\theta ,\phi) 处， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} 的球坐标为 (1, \theta + \pi /2, \phi)， 根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为 \begin{align}&(\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta)&(7)\\\end{align}

\begin{align}&\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}&(8)\\\end{align}

同理，在同一点 (r, \theta, \phi) 处， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 的球坐标为 (1, \pi /2, \phi + \pi /2)， 得到第三条式子． 　　 下面推导变换式 4 ． 由于已经知道了变换式 3 ， 且直角坐标系和球坐标系中的基底都是单位正交基，所以直接把变换式 3 中的系数写成 3 \times 3 的矩阵形式，再转置 即可得到变换式 4 中的系数矩阵．