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G ( s ) = s + 3 s 2 + 2 s + 4 G\left( s \right) =\frac{s+3}{s^2+2s+4} G(s)=s2+2s+4s+3​ Matlab可绘制 riocus(g) 掌握根的变化规律 ， 设计控制器，补偿器 ： Compentator Lead Lag…

根 —— 极点

Matlab可以精确绘制——手绘——掌握根的变化规律——设计控制器

根轨迹的基本形式

根轨迹研究的是： 当 K K K从0到 + ∞ +\infty +∞时，闭环系统根（极点）位置的变化规律

1 + K G ( s ) = 0 , G ( s ) = N ( s ) D ( s ) = ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n ) 1+KG\left( s \right) =0,G\left( s \right) =\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}=\frac{\left( s-z_1 \right) \left( s-z_2 \right) \cdots \left( s-z_{\mathrm{m}} \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right) \cdots \left( s-p_{\mathrm{n}} \right)} 1+KG(s)=0,G(s)=D(s)N(s)​=(s−p1​)(s−p2​)⋯(s−pn​)(s−z1​)(s−z2​)⋯(s−zm​)​

其中， z 1 ⋯ z m z_1\cdots z_{\mathrm{m}} z1​⋯zm​ 为零点 Zeros ⊙ \odot ⊙ ， p 1 ⋯ p n p_1\cdots p_{\mathrm{n}} p1​⋯pn​ 为极点 Poles × \times ×

规则1 ：共有 n n n条根轨迹， 若 n > m n>m n>m；共有 m m m条根轨迹，若 m > n m>n m>n； ⇐ max ⁡ { m , n } \Leftarrow \max \left\{ m,n \right\} ⇐max{m,n} 规则2 ：若 m = n m=n m=n，随着 K K K从 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞ ， 根轨迹从 G ( s ) G\left( s \right) G(s)的极点向零点移动： 1 + K G ( s ) = 0 ⇒ D ( s ) + K N ( s ) = 0 1+KG\left( s \right) =0\Rightarrow D\left( s \right) +KN\left( s \right) =0 1+KG(s)=0⇒D(s)+KN(s)=0 ， K → 0 K\rightarrow 0 K→0 时 D ( s ) = 0 D\left( s \right) =0 D(s)=0（极点）； K → ∞ K\rightarrow \infty K→∞ 时 N ( s ) = 0 N\left( s \right) =0 N(s)=0 （零点） 规则3：实轴上的根轨迹存在于从右向左第奇数个极点/零点的左边 规则4：若附属跟存在，则一定是共轭的，所以根轨迹通过实轴对称 规则5：若 n > m n>m n>m ， 则有 n − m n-m n−m个极点指向无穷；若 m > n m>n m>n ， 则有 m − n m-n m−n条根轨迹从无穷指向零点 规则6：根轨迹延渐近线移动，渐近线与实轴的交点 σ = ∑ p − ∑ z n − m \sigma =\frac{\sum{p}-\sum{z}}{n-m} σ=n−m∑p−∑z​ ，渐近线与实轴的夹角 θ = 2 q + 1 n − m π , q = 0 , 1 , . . . , n − m − 1 / m − n − 1 \theta =\frac{2q+1}{n-m}\pi ,q=0,1,...,n-m-1/m-n-1 θ=n−m2q+1​π,q=0,1,...,n−m−1/m−n−1

以 2nd-order system 为例： Properties of Root locus