三、绘制根轨迹图示例

例6-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。

解 ⑴该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在S平面上。

⑵由规则二知，三条根轨迹是连续且对称于实轴的。

⑶根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 P1=0,P2=-1,P3=-2,由于没有开环零点（m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。

⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。

⑸由规则五，实轴上的根轨迹为实轴上P1到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。

⑹由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）应是方程 解的合理值， 即 得 α1=-0.42 ， α1=-1.58 由于α1=-1.58不在实轴的根轨迹上，应舍去；实际的分离点应为α1=-0.42。

⑺ 无复数开环极点和零点，不存在出射角和入射角。

⑻由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点ωc及对应的开环根轨迹增益的临界值Krc。用s=jω代入特征方程得

⑻由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点ωc及对应的开环根轨迹增益的临界值Krc。用s=jω代入特征方程得

解虚部方程得

其中ω1=0是开环极点P1对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为将代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值Krc=6。绘制出该系统的根轨迹图如图6-11所示。

例6-8 已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。

解 ⑴这是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。

⑵由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点Z1=-2和一对开环共轭复数极 P1,2=-1±j1,因此，根轨迹的起点为P1(Kr=0) 和P2(Kr=0)，其终点为Z1(Kr=∞)和无穷远点(Kr→∞)。

⑶由规则五知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根轨迹。

⑷由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是

即

解方程可得 α1=-3.414 ， α2=-0.586 α2=-0.586不在实轴上的根轨迹上，舍去α2 ，实际的分离点为α1。

⑸由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的出射角。它们是

⑹为了准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为，圆心位于点（-2，j0）的圆弧。

证明 已知系统的开环零点和极点分别为Z1=-2 , P1=-1±j1 , P2=-1-j1令s=u+jv为根轨迹的任一点，由绘制根轨迹的相角条件可得 将s、Z1 、P1 和P2 代入得

即

应用三角公式

将上式等号左边合并可得到

将上式等号两边取正切，则有

方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点(-2,j0) 、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图6-12所示。

由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益Kr 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。