一、导数应用

1

．

单调区间：一般地，设函数

)

(

x

f

y



在某个区间可导，如果

'

f

)

(

x

0



，则

)

(

x

f

为增函数；

如果

'

f

0

)

(



x

，则

)

(

x

f

为

减函数；如果在某区间内恒有

'

f

0

)

(



x

，则

)

(

x

f

为常数；

2

．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为

0

，极值点处的导数为

0

；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线

的斜率为负，右侧为正；

二、导数应用的细节

1

、导数与函数的单调性的关系

㈠

0

)

(





x

f

与

)

(

x

f

为增函数的关系。

0

)

(





x

f

能推出

)

(

x

f

为增函数，

但反之不一定。

如函数

3

)

(

x

x

f



在

)

,

(





上单调递增，

但

0

)

(





x

f

，

∴

0

)

(





x

f

是

)

(

x

f

为增函数的

充分不必要条件

。

㈡

0

)

(





x

f

时，

0

)

(





x

f

与

)

(

x

f

为增函数的关系。

若将

0

)

(





x

f

的根作为分界点，因为规定

0

)

(





x

f

，即抠去了分界点，此时

)

(

x

f

为增函数，就一定有

0

)

(





x

f

。∴当

0

)

(





x

f

时，

0

)

(





x

f

是

)

(

x

f

为增函数的

充分必要条件

。

㈢

0

)

(





x

f

与

)

(

x

f

为增函数的关系。

)

(

x

f

为增函数，一定可以推出

0

)

(





x

f

，但反之不一定，因为

0

)

(





x

f

，即为

0

)

(





x

f

或

0

)

(





x

f

。当函数在某个区间

内恒有

0

)

(





x

f

，则

)

(

x

f

为常数，函数不具有单调性。∴

0

)

(





x

f

是

)

(

x

f

为增函数的

必要不充分条件

。

㈣单调区间的求解过程，已知

)

(

x

f

y



（

1

）分析

)

(

x

f

y



的定义域

; 

（

2

）求导数

)

(

x

f

y







（

3

）解不等式

0

)

(





x

f

，解集在定义域内的部分为增区间

（

4

）解不等式

0

)

(





x

f

，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前

提条件都是函数

)

(

x

f

y



在某个区间内可导。

2

、求极值、求最值。

用导数判别

f

(

x

0

)

是极大、

极小值的思路

: 

若

0

x

满足

0

)

(

0





x

f

，

且在

0

x

的两侧

)

(

x

f

的导数异号，

则

0

x

是

)

(

x

f

的极值点，

)

(

0

x

f

是极值，并且如果

)

(

x

f



在

0

x

两侧满足“左正右负”

，则

0

x

是

)

(

x

f

的极大值点，

)

(

0

x

f

是极大值；如果

)

(

x

f



在

0

x

两侧满足“左