高二数学导数及其应用试题答案及解析

1.

曲线

C

：

f(x)= ax

3

+bx

2

+cx+d

关于原点成中心对称，

y

极小

=f(1)=

．

（

1

）求

f(x)

的解析式；

（

2

）在曲线

C

上是否存在点

P

，使过

P

点的切线与曲线

C

除

P

点以外不再有其它公共点？证明

你的结论．

【答案】

（

1

）

；（

2

）存在这样的点

P

（

0

，

0

）满足题意．

【解析】

（

1

）易得

；

（

2

）设切点

P(a

，

f(a))

，则

k=

, 

∴

x

2

+ax

－

2a

2

=0

，若存在这样的点

P

，则

x

1

=x

2

=a

，

∴

x

1

+x

2

="2a=" 

－

a

，

∴

a=0 

∴

存在这样的点

P

（

0

，

0

）满足题意．

【考点】

本题主要考查导数的几何意义。

点评：综合题，以函数为载体，通过应用导数知识，对直线的位置关系等进行了全面考查。

2.

（

12

分）

一物体按规律

x

＝

bt

3

作直线运动，式中

x

为时间

t

内通过的距离，媒质的阻力正比于

速度的平方．试求物体由

x

＝

0

运动到

x

＝

a

时，阻力所作的功

分析：

【答案】

【解析】

物体的速度

．媒质阻力

，其中

k

为比例常数，

k>0

．

当

x=0

时，

t=0

；当

x=a

时，

，又

ds=vdt

，故阻力所作的功为

【考点】

本题主要考查定积分在物理中的应用：变力做功

. 

点评：首先建立速度关于时间

的函数，进而得阻力关于

的函数

.

由

可得阻力所做功

.

3.

设直线

与抛物线

所围成的图形面积为

S,

它们与直线

围成的面积为

T, 

若

U=S+T

达到最小值

,

求

值

.

【答案】

（

1

）

（

2

）当

时，显然无最小值。

【解析】

分析：首先做草图，求得直线

与抛物线

的交点

.

用定积分求面积

和

(

关于

的函数

).

进而用导数研究函数的单调性，并求最值