导数的应用练习题及详解 |
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一、导数应用
1 .
单调区间:一般地,设函数 ) ( x f y 在某个区间可导,如果 ' f ) ( x 0 ,则 ) ( x f 为增函数;
如果 ' f 0 ) ( x ,则 ) ( x f 为 减函数;如果在某区间内恒有 ' f 0 ) ( x ,则 ) ( x f 为常数;
2 .极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为 0 ,极值点处的导数为 0 ;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线 的斜率为负,右侧为正;
二、导数应用的细节
1 、导数与函数的单调性的关系
㈠ 0 ) ( x f 与 ) ( x f 为增函数的关系。
0 ) ( x f 能推出 ) ( x f 为增函数, 但反之不一定。 如函数 3 ) ( x x f 在 ) , ( 上单调递增, 但 0 ) ( x f , ∴ 0 ) ( x f 是 ) ( x f 为增函数的 充分不必要条件 。
㈡ 0 ) ( x f 时, 0 ) ( x f 与 ) ( x f 为增函数的关系。
若将 0 ) ( x f 的根作为分界点,因为规定 0 ) ( x f ,即抠去了分界点,此时 ) ( x f 为增函数,就一定有 0 ) ( x f 。∴当 0 ) ( x f 时, 0 ) ( x f 是 ) ( x f 为增函数的 充分必要条件 。
㈢ 0 ) ( x f 与 ) ( x f 为增函数的关系。
) ( x f 为增函数,一定可以推出 0 ) ( x f ,但反之不一定,因为 0 ) ( x f ,即为 0 ) ( x f 或 0 ) ( x f 。当函数在某个区间 内恒有 0 ) ( x f ,则 ) ( x f 为常数,函数不具有单调性。∴ 0 ) ( x f 是 ) ( x f 为增函数的 必要不充分条件 。
㈣单调区间的求解过程,已知 ) ( x f y
( 1 )分析
) ( x f y 的定义域 ;
( 2 )求导数
) ( x f y
( 3 )解不等式 0 ) ( x f ,解集在定义域内的部分为增区间
( 4 )解不等式 0 ) ( x f ,解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前 提条件都是函数 ) ( x f y 在某个区间内可导。
2 、求极值、求最值。
用导数判别 f ( x 0 ) 是极大、 极小值的思路 : 若 0 x 满足 0 ) ( 0 x f , 且在 0 x 的两侧 ) ( x f 的导数异号, 则 0 x 是 ) ( x f 的极值点, ) ( 0 x f 是极值,并且如果 ) ( x f 在 0 x 两侧满足“左正右负” ,则 0 x 是 ) ( x f 的极大值点, ) ( 0 x f 是极大值;如果 ) ( x f 在 0 x 两侧满足“左 |
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