前言：本篇讲述第一类曲线积分和第二类曲线积分，以及它们的区别与联系。

目录：

第一类曲线积分——对弧长的曲线积分

1、概念引入

2、定义

3、性质

4、计算

第二类曲线积分——对坐标的曲线积分

1、概念引入

2、定义

3、性质

4、计算

两类曲线积分之间的联系

举一个实际生活中的例子：

我们知道有些物体的质量是均匀分布的，比如高中经常用到的“质量均匀分布的小球”这样的理想化模型，但在现实生活中，大部分物体的质量不是均匀分布的。质量不均匀在于密度不均匀，如果物体的密度按照一定的规律变化，就可以将密度的分布情况用函数表示，这样就有了线密度、面密度、体密度等。

对一个弧状的物体（理想化地将其看作一条二维平面上的弧线）而言，算其质量要考虑其线密度。

首先，将一段线密度为f(x,y)的弧分割成n小段。然后用微元的思想，每一小段的密度都是均匀的，所以第i段的质量就为。

然后近似求和：，最后取极限：取λ为Δsi的最小值，当λ→0，也即每一段弧都趋近于0时，。

其中，f(x,y)为被积函数，L为积分弧段。即f在一段平面弧上的积分，ds为弧长元素。

类似地，平面弧可以推广到空间弧，设函数为f(x,y,z)，曲线弧为Γ，那么函数在空间曲线弧上的积分为。

满足线性性，可加性，被积函数为1时几何意义为弧长，保号性，保序性，估值性，中值定理这7个性质，具体的证明就不再多说了。

不按课本上复杂的证明来理解，这里给出一种较为简单直观的方法。

重点在弧长元素ds，当ds→0时，由微分的思想化曲为直，即一段很小的弧就是一小段直线。为了便于计算，通常将弧向x轴和y轴作垂线，即构成了一个小直角三角形，如图：

即将难以表示的Δs转换成立易于表示的Δx和Δy，即若x = φ(t)，y = ψ(t)，那么Δx = dx = φ'(t)dt，Δy = dy = ψ'(t)dt，所以。

所以弧长的曲线积分常转化为参数形式来计算，即当参数t由α变为β时

，这里要求α