教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用

教学重点：弧长曲线积分的计算 

教学难点：弧长曲线积分的计算

教学内容：

1．  曲线形构件的质量问题

设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续

求构件质量.

解：（1）将分割

（2），

（3）

（4）   

2定义 为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段，任取一点  作和，令，当时，存在，称此极限值为在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为     

注意：（1）若曲线封闭，积分号

（2）若连续，则存在，其结果为一常数.

（3）几何意义=1，则=L（L为弧长）

（4）物理意义 M=

（5）此定义可推广到空间曲线=

（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上

重心：，，.

转动惯量：， ，

（7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无关

3．对弧长曲线积分的性质

a：设，则=+

b：=

c：=.

定理：设在弧上有定义且连续，方程 （），

在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=.

说明：从定理可以看出

（1）       计算时将参数式代入，，在上计算定积分.

（2）       注意：下限一定要小于上限， 0）

（3） ：, 时，=

同理：，时，=

(4)  空间曲线：，，，                                           

     =

例1．计算曲线积分，其中是第一象限内从点到点的单位圆弧

解  (Ⅰ) ：   

∴=

(Ⅱ) 若是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧

（1）=+=+

=+ =

(2) 若：  ()   =

=+

(3) ：， 

==

例2．计算  ：  所围成的边界

解 ，在上    =

在上 =

在上    

=

          ∴ =+

例3．计算    ：

解     ：

∴===

或     

        =

∴===

例4．    ：  围成区域的整个边界

解  =  交点     

 =+=+

                    =+=+

小结    1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用

  作业    P193  1  P194  2、3