第十章 曲线积分与曲面积分 |
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第一节 对弧长的曲线积分
教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点:弧长曲线积分的计算 教学难点:弧长曲线积分的计算 教学内容: 一、弧长的曲线积分的概念 1. 曲线形构件的质量问题 设一构件占面内一段曲线弧,端点为,线密度连续 求构件质量. 解:(1)将分割 (2), (3) (4) 2定义 为面内的一条光滑曲线弧,在上有界,用将分成小段,任取一点 作和,令,当时,存在,称此极限值为在上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为 注意:(1)若曲线封闭,积分号 (2)若连续,则存在,其结果为一常数. (3)几何意义=1,则=L(L为弧长) (4)物理意义 M= (5)此定义可推广到空间曲线= (6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心:,,. 转动惯量:, , (7)若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向,但与的方向无关 3.对弧长曲线积分的性质 a:设,则=+ b:= c:=. 二 对弧长曲线积分的计算定理:设在弧上有定义且连续,方程 (), 在上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且=. 说明:从定理可以看出 (1) 计算时将参数式代入,,在上计算定积分. (2) 注意:下限一定要小于上限, 0) (3) :, 时,= 同理:,时,= (4) 空间曲线:,,, = 例1.计算曲线积分,其中是第一象限内从点到点的单位圆弧 解 (Ⅰ) : ∴= (Ⅱ) 若是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧 (1)=+=+ =+ = (2) 若: () = =+
(3) :, == 例2.计算 : 所围成的边界 解 ,在上 = 在上 = 在上 = ∴ =+ 例3.计算 : 解 :
∴=== 或 = ∴=== 例4. : 围成区域的整个边界 解 = 交点 =+=+ =+=+
小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质,2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 P193 1 P194 2、3 |
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