2023年考研数二第12题解析:曲线弧长计算、凑微分、挖掘隐含条件 |
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一、题目
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的弧长为多少? 难度评级: 二、解析根据曲线弧长公式: $$l = \int_{a}^{b} \sqrt{1+ y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x$$ 又: $$y^{\prime}=\sqrt{3-x^{2}} \Rightarrow y^{\prime 2}=3-x^{2} \Rightarrow$$ 且分析可知,被积这数自带取值区间,是一个圆心位于 $(0, 0)$ 点处,半径为 $r$ 的圆的上半圆: $$y=\sqrt{3-t^{2}} \Rightarrow y^{2}+t^{2}=3 \Rightarrow r=\sqrt{3}$$ 于是: $$l=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x =$$ $$2 \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=$$ $$4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=$$ $$8 \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{x}{2}\right)=$$ $$8 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow$$ 三角代换: $$x=\sin t \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow$$ $$8 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow$$ 三角函数降幂: $$\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow$$ $$\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2 \alpha) \Rightarrow$$ $$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t=$$ $$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} (2 t)=$$ $$2 \int_{0}^{\frac{2 \pi}{3}}(1+\cos t) \mathrm{~ d} t=$$ $$2\left[\frac{2 \pi}{3} + \sin t \Big|_{0} ^{\frac{2 \pi}{3}}\right]=$$ $$2\left[\frac{2 \pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right] = \frac{4 \pi}{3} + \sqrt{3}$$ 高等数学涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 1989 年考研数二真题解析 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 1992 年考研数二真题解析 1991 年考研数二真题解析 1990 年考研数二真题解析 1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 1987 年考研数二真题解析 高等数学定积分补充例题(三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑) 1988 年考研数二真题解析 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 考研数学不定积分补充例题 计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题) 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标:当这个圆形区域的位置并不标准时,可以考虑平移代换 线性无关的向量组「乘以」线性相关的向量组会得到一个线性相关的向量组 计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限,但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办? 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 什么情况下牛顿-莱布尼兹公式(定积分)不起作用? 二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号 二重积分的被积函数中含有根号怎么办?可以尝试改造积分区域实现对根号的去除 用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目 你会判断积分不等式的正负性吗? |
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