我又来了，这次还是因为快期末辽hhh。一直搞不明白高数的第十章、第十一章，现在终于有空来弄清楚辽。

要弄明白重积分，首先我们还是来回顾一下定积分的概念。

首先我们应该弄清楚什么是定积分，常见的形式就是 要知道，这并不是定积分最开始的形式，定积分是为了求某一个函数与x轴的围成的面积，如图 我们会用到“分割、求和、取极限”的方法来求[a,b]上f(x)与x轴围成的面积，将此面积定义为曲边梯形的面积。 具体步骤 ：

二重积分在计算上是将其转化为两次定积分，但不能不理解它的本质含义。 上面提到定积分的含义其实是求曲边梯形的面积，二重积分类似地，求的是曲顶柱体的体积。求体积的步骤还是类似的，依旧是“分割，求和，取极限”的思想。

三重积分就不同了，它表示的是物体的质量，先上图 我们知道物体的质量为 m=ρV，但有时候密度并不是均匀的，这时候如何求一个立体图形的质量呢？我们可以把一个立体图形分成许多块，每块去乘以对应的密度，就能近似的得出其质量。 还是一样的套路

对弧长的曲线积分，得出的结果的是曲线形构件的质量，m=ρV，这里的V代表曲线的长度，我们只需要计算出它的长度，再乘以密度函数即可。我们依旧按照之前的思路来展开。

分割 如图，将弧段AB分割成若干份，取任意一份表示为Δs。

求和 在分割的每个小区域中任取一点(ξi，ηi)，做乘积 f(ξi，ηi)Δsi，并作和。

取极限 将AB无限地分割下去，每个小弧段的长度都趋向于0，这时将 f(ξi，ηi)Δsi （i=1…n）全部加起来取极限，就得到这段弧的质量。 将AB表示为L，并对弧长s积分，得到表达式 左式：L即弧段AB，ds为弧元素，也可以说是分割出的小弧段的长度。求小弧段的长度ds有个简单的技巧，就是利用直角三角形：

其实就是用直线连接AB两点，在水平方向和竖直方向分别做直线，构成一个直角三角形。因为第三步的取极限，这时可以把直线AB近似地看成Δs。

又因为我们需要做积分计算，对x和y都积分不是很方便，于是我们将x、y都化成参数方程，只用一个参数来表示两个变量。即： 这时候，能简单地推导出我们常用的对弧长的曲线积分的公式 此处右式：α、β分别是参数 t 的下限和上限，然后将表示x、y的参数方程代进函数 f(x,y) ,将上面求得的ds代进，就得到右式。它表示曲线形构件的质量。 注意：这里的积分是二维的，是在xoy面上对弧长的积分。 也可以拓展到立体空间，此时变量有三个： 剩下的步骤类似，最终结果为 注意根号下的函数都是导数再平方。

准备知识：变力沿曲线做功问题 我们知道，一个恒力沿着曲线做功，它做的功为W=F∙s，但是如果这个力是变力，我们应该怎么求呢? 一个变力虽然是可变的，可以变方向，可以变大小。

分割 针对方向，我们总是能将它分解成水平方向上的力和竖直方向上的力，分别为向量i，j。 针对大小，我们假定分解出的两个方向，力的大小对应不同的函数，分别为P(x,y),Q(x,y)。那么可以写出：

F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j

力的公式解决了，接下来是曲线。假设有光滑曲线L。 先将L分割为许多小弧段，分别为M1，M2…Mn，取其中一个有向小弧段 来分析，因为它很短，可以用水平方向上的单位向量和竖直方向上的单位向量来表示。 其中，i 是 x 轴上的单位向量，j 是 y 轴上的单位向量。 那么曲线的表示也完成了。

所以，只研究这一小弧段MiMi-1，力在它方向上所做的功，就能用水平方向上的力和曲线、竖直方向上的力和曲线来表示。 当然这只是一小段曲线上的功.

求和 为了求出力沿着整段曲线做的功, 我们将所有小弧段上的功相加

取极限 由此引出第二类曲线积分：对坐标的曲线积分 （1） 对坐标x的曲线积分 其中，L是有向的曲线弧 左式：表示在有向曲线弧上对坐标x的曲线积分，其实也就是上面提到的在水平方向上做的功。 （2）对坐标y的曲线积分 左式：表示在有向曲线弧上对坐标y的曲线积分，其实也就是上面提到的在垂直方向上做的功。

（3）推广至空间曲线

与第一类曲线积分类似，对x、y、z做积分比较麻烦，所以还是要将这三个变量化为参数方程，再代入上面积分式。得出来的结果就是: 平面上的对坐标的曲线积分 空间上的对坐标的曲线积分

对面积的曲面积分，积出来的是什么呢。这次我们先来观察它的公式:

首先看左式的积分区域 Σ，我们看到它是在二重积分号下的，推测积分积的是面积，而dS也证明了它积的的确是面积，再看函数 f(x,y,z) ,我们知道这个积分是在空间直角坐标系中的，但是为什么已经对面积进行积分，都能够求出总面积来了，却还要乘一个函数呢？

其实我们可以联想到在三重积分中，对体积进行积分后，也乘了一个函数，它就是密度函数，就不难想到，对面积的曲面积分，其实也是求出了这个面的质量。只不过求出的是质量非均匀分布的曲面壳的质量。

但是要算它可没那么简单。

我们先复习一下向量积的几何意义。 | a×b | = | a || b | sinθ ,它表示以a、b为邻边的平行四边形的面积。 那么dS也能够用这种表示方法，但是又因为dS在空间直角坐标系中一般是斜的，所以还需做进一步讨论。先上图（用word画的不容易啊） 刚刚提到的dS可以用向量的叉乘来表示，那么（直接用word打了） 既然我们把dS表示出来了，也就是表示出了∆S，把 代入 右式变成： 有没有似曾相识的感觉，反正我是没有hhh，其实这是二重积分的一种形式 还是类似于这个 所以到此我们就将第一类曲面积分转换成了二重积分。最终结果如下，Dxy是S在xoy面上的投影，毕竟积分元素都换了，积分区域也是要换成对应的。

准备知识：

速度场 速度是一个矢量，也就是说他是有方向的。 在三维空间里，在空间直角坐标系中，有xyz三个方向。 那速度就可以表示成一个（Ux,Uy,Uz）的矢量。

假设有一种密度为1的稳定流体，它的速度场为v，v是一个向量，且它可以表示为

有向曲面 曲面通常是双侧的，你可以查查著名的莫比乌斯带就是单侧曲面。

有侧的曲面可以分为上侧和下侧，此时曲面方程为z=z(x,y)，它的法向量： 这里可以把z=z(x,y)改写成 f(x,y,z)=z-z(x,y), 再对每一个变量求偏导得出法向量，然后根据z坐标判断曲面的侧向

分为左侧和右侧，此时曲面方程为y=y(x,z) 分为前侧和后侧，此时曲面方程为x=x(y,z)

单位时间内, 流过闭区域S的流量, 其中v是沿垂直于面S的方向

主要内容： 引例：设稳定的不可压缩流体的速度场为 ：v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 求单位时间内流过有向曲面Σ的流量 ϕ 。 此处讨论两种情况： （1）有向曲面Σ是一个平面上的闭区域S，S的面积很容易算出来，它的法向量n也不会改变 所以它的流量为 注意：此处n是单位法向量 （2）设Σ是一个普通的曲面，求它的面积仍可以用“分割、求和、取极限”的方法来计算，继而得出

先复习一个知识点，看法向量n，复习一个知识点：方向余弦

设a=(x,y,z), a的单位向量e表示为： 上式又可以改写为： 划重点了！！接下来引出对坐标的曲面积分的定义，直接上图。

由以上推导，组合形式的含义就是，求流过有向曲面的流体的流量。 而对坐标的曲面积分是由组合形式拆分出来的。

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