上一期铺垫了一个行列式，这一期就要正式讲叉积了。

叉积也叫外积、向量积，之所以叫向量积是因为这个运算的所得结果是一个向量，那么这个向量的方向和模是如何确定的呢？

a与b的叉积记作a×b，它的方向符合右手定则（左撇子：你啥意思？），即：

伸出右手，将大拇指指向a，将食指指向b，中指自然弯曲，并使中指同时垂直于食指和拇指，那么此时中指所指的方向就是a×b的方向。

从这个右手定则，我们可以发现，两个向量的叉积同时垂直这两个向量，并且：

a×b=-b×a，就是说他并不符合交换律。

下面给出计算规则：

|a×b|=|a||b|sinθ（θ是a和b的夹角）

由此可以看出，两个向量的叉积的模的大小，其几何意义就是以a和b为邻边的平行四边形的面积。现在我们需要的是叉积的坐标表达式，就需要证明叉积的分配律，大家可以从上述的式子进行代数证明，这里我讲一个更加简单的方法，但是要绕一个弯——混合积的几何意义，顺便可以简单讲讲混合积。

对于a，b，c，我们记它们的混合积(axb)·c为[a b c]，注意到axb的模的几何意义是以a和b为邻边的平行四边形的面积，又注意到点积的规则，如图：

由上图我们可以看出[a b c]的几何意义就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积，根据这个尼，我们就可以得出：

[a b c]=[b c a]=[c a b]即(a×b)·c = a·(b×c)，再借助点积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；(a+b)·c = a·c + b·c（可利用点积的坐标表达式进行证明），即可证明叉积的分配律，如下：

设r 为空间任意向量，就有

r·(a×(b + c)

= (r×a)·(b + c)（混合积的几何意义）

= (r×a)·b + (r×a)·c（点积的分配律）

= r·(a×b) + r·(a×c)（混合积的几何意义）

= r·(a×b + a×c)（点积的分配律）

即r·(a×(b + c)= r·(a×b + a×c)移项得

r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0

又因为r为任意向量，向量a×(b + c) - (a×b + a×c) 与之点积恒为零，说明

a×(b+c) - (a×b+a×c) = 0

a×(b+c) = a×b+a×c.

有了分配律，就可以求叉积坐标表达式了~

方法很简单，利用叉积的分配律把两个向量都拆成三个分向量，然后利用|a×b|=|a||b|sinθ|转换下下就好了，但是过程真的不好敲出来，于是我就无耻地复制粘贴了~（别打我啊~~）

【以下蓝色部分来源于百度百科，版权归属原作者】

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。

【以上蓝色部分来源于百度百科，版权归属原作者】

最后的式子显然是三阶行列式的展开形式，我们再利用行列式，就有：

是不是清爽多啦！

留一个练习吧！

证明：a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)（拉格朗日公式）

世界三大数学家：