【数学】向量的四则运算、点积、叉积、正交基

您所在的位置：网站首页 › 向量叉积运算律 › 【数学】向量的四则运算、点积、叉积、正交基

【数学】向量的四则运算、点积、叉积、正交基

2024-07-12 18:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

除了正常的加减乘除以外，向量的最常见的三个运算是点积、叉积、正交基。

对于向量的乘法和除法要做一下说明，因为除发的效率要远低于乘法，因此会将除法尽可能的化为乘法来实现。比如我们要对向量缩放一半，则可以除以2，也可以乘以0.5，则尽量要以乘以0.5来实行。

【向量定义】

对于 $n$ 维向量来说，有 $n$ 个相互垂直的正交基 { ${v_1,v_2,v_3...v_n}$ }，那么一个独立的 $n$ 维标量集{ $s_1,s_2,s_3,s_4...s_n$ }和此正交基存在一个线性组合 $v=s_1v_1+s_2v_2+s_3v_3+...s_nv_n$ ，则 $v(s_1,s_2,s_3...s_n)$ 就是一个 $n$ 维向量。

这里面有一点要注意，只要有正交基，则可以在基上定义向量。比如经常的局部坐标系就是要求其正交基在其上定义局部坐标，比如这篇文章就求了相机坐标的局部坐标系的正交基：【OptiX】第1个示例光线生成模块(RayGenerationProgram), 相机操作、添加三角网以及相交丢失模块(Miss Program)

【向量的加减法】

在求解颜色时，我们经常使用到加法，比如漫反射的结果再加上镜面反射的结果是最终的结果等等。这里要理解的一点是当代表颜色时，加法代表两个颜色叠加。比如R(1.0, 0.0, 0.0)+G(1.0, 0.0, 0.0)+B(1.0, 0.0, 0.0)=W(1.0, 1.0, 1.0)，结果就是颜色混合的白色。

向量的加法从几何上代表两个向量所围成的平行四边形的对角线：

向量的减法代表另一条对角线（ $v_1-v_2$ ）时， $v_1$ 叫做被减向量， $v_2$ 叫做减向量，记 $v_1-v_2$ 方向的一个口决是：指向被减向量

【向量的点积】

向量点积的定义，拿三维向量来说：

$v\cdot w=v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y+v_z\cdot w_z$

这里要注意向量的点积结果是一个数值，而非一个向量。

下面来推导点积的最重要的几何意义公式 $v\cdot w=\left | v \right |\left | w \right |cos\theta$ 其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。当 $v$ 和 $w$ 都是单位向量时， $v\cdot w=cos\theta$ 这是图形学界使用频率最高的公式之一。仅对二三维有效。

下面来进行推导：

设 $\vec{a_1}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b_1}=(x_2,y_2,z_2)$ ，它们的终点分别为 $A=(x_1,y_1,z_1), B=(x_2,y_2,z_2)$ , $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

那么，在三角形OAB中，使用余弦定理：

将A,B, $\overrightarrow{AB}$ 的值代入后，整理即得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2 +z_1\cdot z_2=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos\theta$

【向量的叉积】

先看叉积的性质。两个向量的叉积的结果是垂直于这两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的第三个向量 $\vec{a}\times \vec{b}$ ，它的方向使用右手螺旋定则，长度则为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所围的平行四边形的面积。

$\left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |sin\theta$ ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角。

叉乘满足的基本性质如下：

$\left |\vec{a}\times \vec{a} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{a} \right |sin\theta=0$ ，自己与自己的夹角 $\theta$ =0，则 $sin\theta$ =0，所夹的平行四边形的面积也是0。 $\left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=-\left |\vec{b}\times \vec{a} \right |$ $(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$

再看叉乘在数值计算上的定义：

$u\times w=(u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})\times (v_1\vec{i}+v_2\vec{j}+v_3\vec{k})=u_1v_1\vec{i}\times\vec{i}+u_1v_2\vec{i}\times\vec{j}+u_1v_3\vec{i}\times\vec{k}$

$+u_2v_1\vec{j}\times\vec{i}+u_2v_2\vec{j}\times\vec{j}+u_2v_3\vec{j}\times\vec{k}$

$+u_3v_1\vec{k}\times\vec{i}+u_3v_2\vec{k}\times\vec{j}+u_3v_3\vec{k}\times\vec{k}$ (展开式一）

先讨论正交基 $\vec{i}\vec{j}\vec{k}$ 的运算法则：

$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0$

$\left\{\begin{matrix} \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}& \vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k}\\ \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}& \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}\\ \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}& \vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}\\ \end{matrix}\right.$

再代入到（展开式一）：

$u\times w=(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k}+(u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{j}$

$=\begin{bmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{bmatrix}\vec{i}- \begin{bmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{bmatrix}\vec{j}+ \begin{bmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{bmatrix}\vec{k}$

$=\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}$

【计算正交基】

向量的经常的一个操作是构造正交基，根据一个向量，构建正交基，往往需要用到叉乘。在给定的单位向量 $\vec{a}=(x,y,z)$ ，构建一个与之垂直的向量 $\vec{b}$ ，则保证其相互垂直，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ ，随手可构造 $\vec{b}=(-z,0,x)$ ，再构造 $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$

在pbrt-v2的geometry.h的针对向量的定义中有个内联函数用来根据一个输入的向量，计算正交基，输入一个v1，输出v2, 和v3,都是单位向量：

inline void CoordinateSystem(const Vector &v1, Vector *v2, Vector *v3) { if (fabsf(v1.x) > fabsf(v1.y)) { float invLen = 1.f / sqrtf(v1.x*v1.x + v1.z*v1.z); *v2 = Vector(-v1.z * invLen, 0.f, v1.x * invLen); } else { float invLen = 1.f / sqrtf(v1.y*v1.y + v1.z*v1.z); *v2 = Vector(0.f, v1.z * invLen, -v1.y * invLen); } *v3 = Cross(v1, *v2); }

【本文地址】

【数学】向量的四则运算、点积、叉积、正交基

【数学】向量的四则运算、点积、叉积、正交基

今日新闻

推荐新闻