叉积（向量积、外积）的运算法则及其与点积（数量积、内积）的混合运算

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叉积（向量积、外积）的运算法则及其与点积（数量积、内积）的混合运算

2024-06-25 19:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

设a, b, c为R3上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的叉积，·表示两向量之间的数量积。则：

1. 叉积的定义

a与b的叉积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向分别为：

模：|a×b| = |a||b|sinθ方向：垂直于a与b所构成的平面，且满足右手法则 2. 叉积的代数规则反交换律：a×b = -b×a。分配律：a×(b+c) = a×b+a×c。与标量乘法兼容：(λa)×b = a×(λb) = λ(a×b)。数乘结合律：(λa)×(μb) = (λμ)(a×b)雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0。分配律，线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0。 3. 拉格朗日公式 (a×b)×c = b(a·c)-a(b·c)a×(b×c) = b(a·c)-c(a·b)

可以使用拉格朗日公式第2条证明代数规则第5条的雅可比恒等式：

a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = b(a·c)-c(a·b)+c(b·a)-a(b·c)+a(c·b)-b(c·a) = [a(c·b)-a(b·c)]+[b(a·c)-b(c·a)]+[c(b·a)-c(a·b)] = 0 4. 向量的混合积 (a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b

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