|
高数
【向量的夹角余弦】
cos
θ
=
a
⋅
b
∣
a
∣
∣
b
∣
\cosθ=\frac{a·b}{|a||b|}
cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b \cosθ=\frac{a·b}{|a||b|} 【导数】
x
˙
\dot x
x˙，
x
¨
\ddot x
x¨ \dot x，\ddot x 【求导】
d
y
d
x
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}
dxdy \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} 【求偏导】
∂
z
∂
x
\frac{∂z}{∂x}
∂x∂z \frac{∂z}{∂x} 【多元函数求偏导】
f
x
′
(
u
,
v
)
=
f
u
′
(
u
,
v
)
u
x
′
+
f
v
′
(
u
,
v
)
v
x
′
f'_x(u,v)=f'_u(u,v)u'_x+f'_v(u,v)v'_x
fx′(u,v)=fu′(u,v)ux′+fv′(u,v)vx′ $f'_x(u,v)=f'_u(u,v)u'_x+f'_v(u,v)v'_x$ 【积分号】
∫
,
∬
,
∭
,
∮
,
∯
,
∰
\int,\iint,\iiint,\oint,\oiint,\oiiint
∫,∬,∭,∮,∬
,∭
∫,∬,∭,∮,\oiint,\oiiint 【回转体积分】
∫
−
x
0
x
0
π
[
f
(
x
)
2
−
g
(
x
)
2
]
d
x
∫_{-x_0}^{x_0}π[f(x)^2-g(x)^2]\mathrm dx
∫−x0x0π[f(x)2−g(x)2]dx ∫_{-x_0}^{x_0}π[f(x)^2-g(x)^2]\mathrm dx 【二重直角坐标积分】
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
∬_{D}f(x,y)\mathrm dy\mathrm dx
∬Df(x,y)dydx ∬_{D}f(x,y)\mathrm dy\mathrm dx 【二重极坐标积分】
∬
x
2
+
y
2
≤
R
2
f
(
r
,
θ
)
r
d
r
d
θ
∬_{x^2+y^2≤R^2}f(r,θ)r\mathrm dr\mathrm dθ
∬x2+y2≤R2f(r,θ)rdrdθ ∬_{x^2+y^2≤R^2}f(r,θ)r\mathrm dr\mathrm dθ 【三重球坐标积分】
∭
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
R
2
f
(
r
,
φ
,
θ
)
r
2
sin
φ
d
r
d
φ
d
θ
∭_{x^2+y^2+z^2≤R^2}f(r,φ,θ)r^2\sinφ\mathrm dr\mathrm dφ\mathrm dθ
∭x2+y2+z2≤R2f(r,φ,θ)r2sinφdrdφdθ ∭_{x^2+y^2+z^2≤R^2}f(r,φ,θ)r^2\sinφ\mathrm dr\mathrm dφ\mathrm dθ 【方程组】
{
1
2
\left\{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right.
{12 \left\{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right. 【求极限-幂指函数】
lim
x
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
\lim_{x→∞}(1+\frac{1}{n})^n
limx→∞(1+n1)n，
lim
x
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{n})^n
x→∞lim(1+n1)n \lim_{x→∞}(1+\frac{1}{n})^n，\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{n})^n 【花体R】
R
n
\mathbb R^n
Rn \mathbb R^n 【散度】
d
i
v
F
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
\mathrm{div}F=\frac{\mathrm ∂F_x}{\mathrm ∂x} +\frac{\mathrm ∂F_y}{\mathrm ∂y}+\frac{\mathrm ∂F_z}{\mathrm ∂z}
divF=∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz \mathrm{div}F=\frac{\mathrm ∂F_x}{\mathrm ∂x} +\frac{\mathrm ∂F_y}{\mathrm ∂y}+\frac{\mathrm ∂F_z}{\mathrm ∂z} 【倍角公式】
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
,
cos
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2,\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2
sin2x=21−cos2x,cos2x=21+cos2x \sin^2x=\frac{1-\cos2x}2,\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2 【和差化积公式1】
sin
α
+
sin
β
=
2
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
\sinα+\sinβ=2\sin\frac{α+β}2\cos\frac{α-β}2
sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β \sinα+\sinβ=2\sin\frac{α+β}2\cos\frac{α-β}2 【和差化积公式2】
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
\cosα+\cosβ=2\cos\frac{α+β}2\cos\frac{α-β}2
cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β \cosα+\cosβ=2\cos\frac{α+β}2\cos\frac{α-β}2 【和差化积公式3】
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
\cosα-\cosβ=-2\sin\frac{α+β}2\sin\frac{α-β}2
cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β \cosα-\cosβ=-2\sin\frac{α+β}2\sin\frac{α-β}2 【根号】
x
2
+
y
2
\sqrt{x^2+y^2}
x2+y2
\sqrt{x^2+y^2} 【幂级数和】
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
2
x
n
+
1
∑_{n=1}^∞\frac{(-1)^n}{n^2}x^{n+1}
∑n=1∞n2(−1)nxn+1 ∑_{n=1}^∞\frac{(-1)^n}{n^2}x^{n+1} 【圆形积分区间】
D
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
2
+
y
2
≤
4
}
D=\{(x,y)|x^2+y^2≤4\}
D={(x,y)∣x2+y2≤4} D=\{(x,y)|x^2+y^2≤4\} 【泰勒展开公式】
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
x
f
′
(
x
0
)
+
x
2
2
!
f
′
′
x
0
)
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
f
(
n
)
(
x
0
)
f(x)=f(x_0)+xf'(x_0)+\frac{x^2}{2!}f''x_0)+⋯=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(x_0)
f(x)=f(x0)+xf′(x0)+2!x2f′′x0)+⋯=∑n=0∞n!xnf(n)(x0) f(x)=f(x_0)+xf'(x_0)+\frac{x^2}{2!}f''x_0)+⋯=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(x_0) 【傅里叶级数】
f
(
x
)
=
a
0
‾
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
2
π
n
T
x
+
b
n
sin
2
π
n
T
x
)
,
{
a
0
=
2
T
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
d
x
a
n
=
2
T
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
cos
2
π
n
T
x
d
x
b
n
=
2
T
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
sin
2
π
n
T
x
d
x
f(x)=\begin{matrix}\underline{a_0}\\2\end{matrix}+∑\limits_{n=1}^∞(a_n\cos\frac{2πn}Tx+b_n\sin\frac{2πn}Tx),\\\left\{\begin{matrix}a_0=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\mathrm dx\\a_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\cos\frac{2πn}Tx\mathrm dx\\b_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\sin\frac{2πn}Tx\mathrm dx\end{matrix}\right.
f(x)=a02+n=1∑∞(ancosT2πnx+bnsinT2πnx),⎩
⎨
⎧a0=T2a∫a+Tf(x)dxan=T2a∫a+Tf(x)cosT2πnxdxbn=T2a∫a+Tf(x)sinT2πnxdx f(x)=\begin{matrix}\underline{a_0}\\2\end{matrix}+∑\limits_{n=1}^∞(a_n\cos\frac{2πn}Tx+b_n\sin\frac{2πn}Tx),\\\left\{\begin{matrix}a_0=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\mathrm dx\\a_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\cos\frac{2πn}Tx\mathrm dx\\b_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\sin\frac{2πn}Tx\mathrm dx\end{matrix}\right. 【幂级数收敛半径】
R
=
lim
n
→
∞
∣
a
n
a
n
+
1
∣
R=\lim_{n→∞}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|
R=limn→∞∣an+1an∣ R=\lim_{n→∞}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| 【柱坐标换元】
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
x=r\cosθ,y=r\sinθ
x=rcosθ,y=rsinθ x=r\cosθ,y=r\sinθ 【球坐标换元】
x
=
r
sin
φ
cos
θ
,
y
=
r
sin
φ
sin
θ
,
z
=
r
cos
φ
x=r\sinφ\cosθ,y=r\sinφ\sinθ,z=r\cosφ
x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ x=r\sinφ\cosθ,y=r\sinφ\sinθ,z=r\cosφ
线性代数
【和负号一样长的空格】 \;\;\; 【右对齐】（每行开始打&为左对齐） \begin{align} \end{align} 【二阶矩阵】
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
[a11a21a12a22] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} 【三阶矩阵】
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} 【通用矩阵】
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&⋯&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&⋯&a_{2n}\\⋯&⋯&⋯&⋯\\a_{n1}&a_{n2}&⋯&a_{nn}\end{bmatrix}
a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&⋯&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&⋯&a_{2n}\\⋯&⋯&⋯&⋯\\a_{n1}&a_{n2}&⋯&a_{nn}\end{bmatrix} 【初等变换】
r
2
+
r
1
———
→
,
r
2
↔
r
1
———
→
,
r
2
×
(
−
1
)
———
→
,
r
2
÷
(
−
2
)
———
→
\underset{———→}{r_2+r_1},\underset{———→}{r_2↔r_1},\underset{———→}{r_2×(-1)},\underset{———→}{r_2÷(-2)}
———→r2+r1,———→r2↔r1,———→r2×(−1),———→r2÷(−2) \underset{———→}{r_2+r_1},\underset{———→}{r_2↔r_1},\underset{———→}{r_2×(-1)},\underset{———→}{r_2÷(-2)} 【通用向量】
a
⃗
=
[
a
1
a
2
⋯
a
n
]
\vec a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\⋯\\a_n\end{bmatrix}
a
=
a1a2⋯an
\vec a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\⋯\\a_n\end{bmatrix} 【逆矩阵与伴随矩阵】
A
−
1
=
A
∗
∣
A
∣
A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}
A−1=∣A∣A∗ A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} 【转置矩阵】
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(AB)^T=B^TA^T
(AB)T=BTAT (AB)^T=B^TA^T 【特征值与特征向量】
A
α
⃗
=
λ
α
⃗
A\vecα=λ\vecα
Aα
=λα
A\vecα=λ\vecα
|