向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义 |
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向量的内积(点乘)
定义
概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:
a和b的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。 向量内积的性质: a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性) a·b = b·a. (对称性) (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性) cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|). |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立. 向量内积的几何意义内积(点乘)的几何意义包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量方向上的投影有公式: 推导过程如下,首先看一下向量组成: 定义向量c: 根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有: 根据关系c=a-b有: 即: a∙b=|a||b|cos(θ)向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ: θ=arccos(a∙b|a||b|)进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为: a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 a∙b=0→ 正交,相互垂直 a∙b |
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