§3 可测集的性质 |
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令 \(S = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\), 那么有 \(E_n \subset S\). 那么由外测度的单调性有 \[m^* E_n \leqslant m^* S.\]令 \(n \to \infty\) 即有 \[\lim\limits_{n \to \infty} m^* E_n \leqslant m^* S = m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n \right).\]另一方面，由 勒贝格外测度的正则性, 即对于任意 \(E_n\)，存在开集 \(G_{\delta}\)-集 \(A_n \supset E_n\), 使得 \(m A_n = m^* E_n\), 令 \[C_n = \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} A_k, \quad n \in \mathbb{N}.\]那么 \(C_n\) 也是 \(G_{\delta}\)-集，从而可测，而且 \(\{C_n\}\) 构成（可测集的）渐张列，那么有 \[m \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} C_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} m C_n.\]又由于有包含关系 \(E_n \subset C_n \subset A_n\), 以及 \(m A_n = m^* E_n\), 所以有 \[m A_n = m C_n = m^* E_n, \quad n \in \mathbb{N},\]而且进一步有不等式 \[m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n \right) \leqslant m \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty C_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} m C_n = \lim\limits_{n \to \infty} m^* E_n.\]综上所述，有 \(m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} m^* E_n\). |
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