拓扑性质 之 紧致性总结 |
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1.列紧 一个拓扑空间 ( X , τ ) (X,\tau) (X,τ)称之为列紧的,如果它的每个序列有收敛的子序列。 ps:这里的收敛指的是序列的收敛,而不是集合的收敛,两种收敛存在区别。 2.子集紧 一个拓扑空间 ( X , τ ) (X,\tau) (X,τ)称之为子集紧的,如果 X X X的每个无穷子集都有 X X X 中极限点。 3.可数紧 一个拓扑空间 ( X , τ ) (X,\tau) (X,τ)称之为可数紧的,如果其任何可数开覆盖都有有限子覆盖。 4.紧致 一个拓扑空间 ( X , τ ) (X,\tau) (X,τ)称为紧致的,如果它的任何开覆盖存在有限子覆盖。 ps:覆盖的定义即为子集族。 5.伪紧 若拓扑空间 ( X , τ ) (X,\tau) (X,τ)满足在连续函数下的像是有界的,则称 X X X是伪紧的。 可以看到,五种对紧的定义是从三个角度出发对拓扑空间进行的刻画: 1.子集紧、可数紧是从极限点角度出发对拓扑空间进行刻画。 2.可数紧、紧致则是从覆盖数量角度出发对拓扑空间进行刻画。 3.伪紧从连续函数像的有界性对拓扑空间进行刻画。 ps:“有界”这个定义是在距离空间中的,如果只给定了拓扑空间是不够的。 那么随之而来的Question就是: “紧”到底是一种什么性质,为什么它的名字叫“紧”?个人理解: 紧就是挤得慌,东西多,地方小。比如压缩饼干,折叠起来的降落伞,一辆超载的面包车。 为什么极限点,覆盖能够表述紧这个性质呢? 我们假如放出了 ℵ 1 \aleph_1 ℵ1个罪犯,让他们去城市中游荡,那我就得做好派出至多 ℵ 1 \aleph_1 ℵ1个武警去抓捕他们的准备。但是如果让这些罪犯一块乘坐可数辆公交车(超载危险,请勿模仿),那我派出可数个警察就可以了。这就是我对覆盖的理解。 同样是那被放出的 ℵ 1 \aleph_1 ℵ1个罪犯,如果让他们分散跑,那一个罪犯周围很难找到别的罪犯,如果让他们挤在公交车上,那一个罪犯周围必然能找到别的罪犯。 把上面的原因结果反过来想。结果就是对原因性质的一种表述,这种原因就是紧。 我们下面来总结下: 各种紧性质间的关系 C1 T1 T4 Lindelof 列紧 可数紧 伪紧 子集紧 紧性 |
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