设 X X X是复 B a n a c h Banach Banach空间，且 T ∈ B ( X ) T\in \mathscr B (X) T∈B(X)， λ ∈ C \lambda \in \mathbb{C} λ∈C

正则集 ρ ( T ) = { λ : λ I − T 可 逆 } \rho(T)=\{\lambda:\lambda I-T可逆 \} ρ(T)={λ:λI−T可逆}为开集，其集合中的元素称为正则值

谱集： σ ( T ) = C \ ρ ( T ) \sigma (T)=\mathbb C \backslash \rho(T) σ(T)=C\ρ(T)

特征值：（ λ I − T \lambda I-T λI−T不是单射）存在非零元 x 0 ∈ X x_0 \in X x0​∈X，使得 T x 0 = λ x 0 Tx_0=\lambda x_0 Tx0​=λx0​；点谱=特征值的集合

连续谱： λ I − T \lambda I-T λI−T是单射，但不是满射

注： λ I − T \lambda I -T λI−T为双射 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ( λ I − T ) − 1 (\lambda I-T)^{-1} (λI−T)−1有界，即 λ ∈ ρ ( T ) \lambda \in \rho(T) λ∈ρ(T)

注： σ ( T ) \sigma (T) σ(T)是有界闭集

定理4.6：设 T ∈ B ( X , X 1 ) T\in \mathscr B (X,X_1) T∈B(X,X1​)为双射，则 T − 1 T^{-1} T−1有界    ⟺    ∃   m > 0 \iff \exist \ m>0 ⟺∃ m>0，使得 ∣ ∣ T x ∣ ∣ ≥ m ∣ ∣ x ∣ ∣ , ∀ x ∈ X ||Tx||\ge m||x||,\forall x\in X ∣∣Tx∣∣≥m∣∣x∣∣,∀x∈X

定理4.7：设 T ∈ B ( X ) T \in \mathscr B(X) T∈B(X)，当 ∣ ∣ T ∣ ∣ < 1 ||T||0 ∀r>0,∃δ>0，使得 U X 1 ( 0 , δ ) ⊂ T U X ( 0 , r ) U_{X_1}(0,\delta)\subset T_{U_X}(0,r) UX1​​(0,δ)⊂TUX​​(0,r)，其中 U X ( 0 , r ) = { x ∈ X : ∣ ∣ x ∣ ∣ < r } U_X(0,r)=\{x\in X:||x||< r\} UX​(0,r)={x∈X:∣∣x∣∣ 0 M>0 M>0，使得 ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ≤ M ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 , ∀ x ∈ X ||x||_1\le M||x||_2,\forall x\in X ∣∣x∣∣1​≤M∣∣x∣∣2​,∀x∈X，则 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 1 ||\cdot||_1 ∣∣⋅∣∣1​和 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 ||\cdot||_2 ∣∣⋅∣∣2​等价。即存在 m > 0 m>0 m>0，使得 m ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ≤ M ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 , ∀ x ∈ X m||x||_2\le ||x||_1\le M||x||_2,\forall x\in X m∣∣x∣∣2​≤∣∣x∣∣1​≤M∣∣x∣∣2​,∀x∈X

定义4.11：设 T T T是个赋范空间 X X X到赋范空间 X 1 X_1 X1​的线性算子，如果 T T T的图象 G ( T ) = { ( x , T x ) ∈ X × X 1 : x ∈ X } G(T)=\{(x,Tx)\in X\times X_1:x\in X \} G(T)={(x,Tx)∈X×X1​:x∈X}在 X × X 1 X\times X_1 X×X1​中是闭集，则称 T T T为闭算子。

定理4.12： T T T是闭算子    ⟺    \iff ⟺由在 X X X中 x n → x 0 x_n\rightarrow x_0 xn​→x0​和在 X 1 X_1 X1​中 T ( x n ) → y 0 T(x_n)\rightarrow y_0 T(xn​)→y0​可知 y 0 = T x 0 y_0=Tx_0 y0​=Tx0​

注：验证 T T T是闭算子的常用条件：由 x n → 0 x_n\rightarrow 0 xn​→0和 T x n → y 0 Tx_n\rightarrow y_0 Txn​→y0​可知 y 0 = 0 y_0=0 y0​=0

注：连续线性算子 ⟹ \Longrightarrow ⟹闭算子，反之不成立

定理4.13：（闭图象定理）设 X 、 X 1 X、X_1 X、X1​是Banach空间， T : X → X 1 T:X\rightarrow X_1 T:X→X1​为比线性算子，则 T T T连续

定理4.14： T T T把闭集映成闭集 ⟹ \Longrightarrow ⟹ T T T是闭算子