§2.4　导集，闭集，闭包

　　本节重点：

　　熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；

　　区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；

　　掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；

　　掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．

　　如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．

　　定义2.4.1　设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．

　　即:(牢记)

　　在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．

　　某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．

　　例2.4.1　离散空间中集合的凝聚点和导集．

　　设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．

　　例2.4.2　平庸空间中集合的凝聚点和导集．

　　设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：

　　第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）

　　第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．

　　第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．

　　定理2.4.1　设X是一个拓扑空间，AX．则

　　（l）d（）=；

　　（2）AB蕴涵d（A）d（B）；

　　（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；

　　（4）d（d（A））A∪d（A）．

　　证明　（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，

　　有U∩

　　（2）设AB．如果．

　　这证明了d（A）d（B）．

　　（3）根据（2），因为A，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．

　　另一方面，如果

　　综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可．)

　　（4）设：

即（4）成立．

　　定义2.4.2　设X是一个拓扑空间，AX．如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．

　　例如，根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．

　　定理2.4.2　设X是一个拓扑空间，AX．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．

　　证明　必要性：设A是一个闭集

　　充分性：设：

　　即A是一个闭集．

　　例2.4.3　实数空间R中作为闭集的区间．

　　设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．

　　同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．

　　定理2.4.3　设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：

　　（1）X，∈F

　　（2）如果A，B∈F，则AUB∈F

　　（从而如果)

　　（3）如果≠

　　在此定理的第（3）条中，我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义．

　　证明　根据定理2.4.2，我们有T={|U∈F}其中，T为X的拓扑．

　　（1）∵X，∈T，∴

　　（2）若A、B∈F ，则

　　（3）令：

　　定理证明完成．

　　总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．

　　（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．

　　定义2.4.3　设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或

　　容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)

　　定理2.4.4　拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=

　　证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)

　　定理2.4.5　设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：

　　证明（1）成立是由于是闭集．

　　（2）成立是根据闭包的定义．

　　（3）成立是因为

　　（4）成立是因为

　　 ＝A∪d（A）∪d（d（A))

　　 ＝A∪d（A）=

　　在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第（3）条和第（4）条．

　　定理2.4.6　拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集．

　　证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．

　　定理2.4.7　设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有

　　即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．

　　证明　因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理2.4.5(4)与定理2.4.4

　　 有

　　另一方面，由于是一个闭集，并且，所以

　　 (“交”包含于形成交的任一个成员)

　　综合这两个包含关系，即得所求证的等式．

　　由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．

　　在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．

　　定义2.4.5　设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为

　　 ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}

　　根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．

　　定理2.4.9　设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则

　　（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；

　　（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．

　　以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．

　　定理2.4.10　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：

　　（l）f是一个连续映射；

　　（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；

　　（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即

　　；

　　(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即

　　．

　　证明　（1）蕴涵（2）．设BY是一个闭集．则 是一个开集，因此根据（1），是X中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集．

　　(2)蕴涵（3）设AX．由于f（A），

　　根据（2），成立．

　　(3)蕴涵(4)设AY集合(B)X应用（3）即得

　　（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）

　　可见:

　　．

　　总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?