随机过程：高斯函数导数、梯度

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随机过程：高斯函数导数、梯度

2024-07-07 18:56| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、说明

二、一维高斯函数

三、n维高斯函数表达式

四、当n=2维的高斯函数梯度

结论：

一、说明

高斯函数广泛应用于统计学领域，随机过程，谱分析等。在信号处理领域，用于定义高斯滤波器，在图像处理领域，二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur，在数理方程领域，主要是用于解决热力方程和扩散方程，以及定义Weiertrass Transform。

对于AI工程人员，掌握一维高斯函数显得少，而掌握多维的也不常用，一般掌握二维高斯较为合适。对这种函数的基本认知包括，导数、积分、n阶矩等，本篇谈一维和二维高斯函数的导数。

二、一维高斯函数

一维高斯函数表现为：

$\large G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } \sigma}e^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma ^2}}$

函数的导数为：

$\large G'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } \sigma}e^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma ^2}}\begin{bmatrix} -\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma ^2} \end{bmatrix}_x'$

$\large G'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } \sigma}e^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma ^2}}\begin{bmatrix} -\frac{{(x-\mu)} }{ \sigma ^2} \end{bmatrix}$

一维高斯函数的导数可以写成：

$\large G'(x)=G(x)\begin{bmatrix} -\frac{{(x-\mu)} }{ \sigma ^2} \end{bmatrix}$

三、n维高斯函数表达式

n维高斯函数，一般在随机过程中讨论，指n个随机变量，构成的联合整体分布。但日常工程一般n=2讨论为多。这里先引进高维，不失一般性讨论n=2的高斯函数。

$\large f_X(x_1,x_2,...x_n)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\frac{1}{\sqrt{detK}}exp \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}(X-\mu)'K^{-1}(X-\mu) \end{bmatrix}$

其中： $E(X)=\mu$ ,(其中X和 $\mu$ 都是向量)。

K= 是什么？这里注意，若是n维度的高斯，就有n个随机变量，这n个随机变量每两个都有一个相关系数： $\rho_{Xi,Yj}=corr(X_i,X_j)$ ,其中相关系数矩阵是：【这里务必提醒大家--相关矩阵和协方差矩阵不是一码事，但关系紧密！！！】

$\rho =\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho _{12}&..... &\rho _{1n} \\ \rho_{21} & \rho _{22}&..... &\rho _{2n} \\ ...& ....& .... & \\ & & & \\ \rho_{11} & \rho _{12}&..... &\rho _{nn} \end{pmatrix}$

$\rho_{Xi,Yj}=corr(X_i,X_j)=\frac{cov(X_i,X_j)}{\sigma_X_i\sigma_X_j}=\frac{E[(X_i-\mu_X_i)(X_j-\mu_X_j)]}{\sigma_X_i\sigma_X_j}$

再次明确： $X_i,X_j$ 是两个不同的随机变量。

$\rho_{X_i,X_j}=\frac{E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j)}{\sqrt{E(X_i^2)-E(X_i)^2}*\sqrt{E(X_j^2)-E(X_j)^2}}$

因为： $\rho_{Xi,Yj}=corr(X_i,X_j)=\frac{cov(X_i,X_j)}{\sigma_X_i\sigma_X_j}$ ，所以：

$cov(X_i,X_j) =\rho_{Xi,Yj}\cdot {\sigma_X_i\sigma_X_j}$

$K=\begin{pmatrix} cov(X_1,X_1) & cov(X_1,X_2)& ....& cov(X_2,X_n)\\cov(X_2,X_1) & cov(X_2,X_2)& ....& cov(X_2,X_n) \\ ...& ...& ...& \\ cov(X_n,X_1)& cov(X_n,X_2)& .....&cov(X_n,X_n) \end{pmatrix}$

K就是协方差矩阵。

四、当n=2维的高斯函数梯度

二维高斯函数在计算机视觉领域用处广泛，利用0均值的二维高斯函数，可以生成高斯卷积核，用于图像处理中的高斯滤波，实现高斯模糊的效果，有效去除高斯噪声。除此之外，halcon应用大量高斯函数进行物件检测，与傅里叶变换结合，能产生机器丰富的算法，

总公式是：

$E(X)=\mu$ ,是期望

K是协方差矩阵：

因而， $X_1,X_2$ 的联合分布函数的密度是：

$G=$

对X1和X2求偏导数后，得到二元高斯函数梯度：

$\large \LARGE \triangledown G=G\begin{bmatrix} (\frac{ -1}{\sigma _1(1-\rho ^2)})[(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma _1})-\rho (\frac{x_2-\mu_2}{\sigma _2})]\\ (\frac{ -1}{\sigma _2(1-\rho ^2)})[(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma _2})-\rho (\frac{x_1-\mu_1}{\sigma _1})] \end{bmatrix}$

结论：

1）多维（二维为例）高斯函数的梯度，一般是在一个椭圆上的梯度，特殊情况在一个圆上(如果在圆上，就成了独立同分布模型)。

2）如果出现二元高斯的时域分析，可以用梯度的泰勒展开化简，近似。

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