导数是在我们中学时就已经相当熟悉的一个概念。

微积分的两个创立者牛顿和莱布尼茨也各自从两个角度出发去研究它的意义：从解决物理问题的角度出发，导数被定义为一种相关变化率，譬如位移关于时间的变化率为速度；从研究函数及几何图形的角度出发，导数在被定义为函数曲线在一点处切线的斜率。

以极限为基石，我们得以严格定义了导数：

f \prime (x)=\lim_{\Delta x\to 0 } \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to x_0 } \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

定义中的这两种表示方式是等价的。

求函数在一点处导数的数学本质，是在计算从这一点附近的某点处向这一点趋近过程中，函数值的增量与自变量的增量之比的极限值。

在中文里，导数这一词翻译（推测最早似是由清代数学家李善兰所译）自英文derivative，而derivative的词源则是由著名的法国数学家拉格朗日命名的法语词 fonction dérivée，它取的是derived from的意思，即将它解释为由函数推导/衍生得来的数。

而在我看来，导数的导字除了推导这一层含义外，还有一层导向、引导的含义。因为实际上我们通过导数在几何图形上的意义可以看出，函数由一点处的邻域向这一点趋近或者反过来由某一点处向它的双侧邻域进行变化时的方向，就是函数曲线在这一点处切线所指的方向——换句话说，导数是在为函数的变化导明方向。

能够将这两层意思同时蕴含在一个简单的词语中，翻译者对于数学与导数的理解不可谓不深。

虽然导数的定义并不复杂，但是这里面依然有值得我们谨慎辨析的地方，比如：

分析：当 n\rightarrow \infty 时， \frac{1}{n}\rightarrow 0 ，这样一看，这个极限计算式似乎与我们定义中给出的是一致的啊。那么 A 不就是导数吗。但实际上，这是不对的。

我们先来看一个例子。

首先我们需要借助一个特殊的函数，即狄利克雷函数：

f(x)=\begin{cases}1, x\in Q \cr0, x\in Q^c\end{cases}

狄利克雷函数是这样一种函数：当 x 为有理数时，函数值取1；当 x 为无理数时，函数值取0。故狄利克雷函数是一个经典且特殊的处处不连续，处处不可导的函数。

而通过仿照仿照狄利克雷函数，我们可以构造出这样一个函数：

f(x)=\begin{cases}Ax+1, x\in Q \cr Ax, x\in Q^c\end{cases},A\neq 0

然后，我们就可以分析它的极限了。

当 x 取有理数时，有 ：

\lim_{n \to \infty} \frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{A(x+\frac{1}{n})+1-(Ax+1)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{A\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=A

当 x 取无理数时，有：

\lim_{n \to \infty} \frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{A(x+\frac{1}{n})-Ax}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{A\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=A

故： \lim_{n \to \infty} \frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}=A ，它是符合我们题设的呀。

可以看到，在这个例子，我们构造出了一个符合题目条件，然而却是一个处处不连续，处处不可导的函数，即它在任意位置都不存在导数。

这个例子所揭示的意义是：在导数的定义中，极限的趋近过程必须是以任意方式进行的（通常我们所说的任意是指的在实数域上，即 \Delta x\rightarrow 0，\Delta x\in I\!R ），而以其它的某些缺失部分定义（换言之如同跳步一般的抑或离散的形式）的趋近方式都不能将它视为导数。

在明确了导数的定义之后，我们可以继续向前一步了。

首先，让我们把目光放到导数定义中的函数增量与自变量增量这两个增量的概念上。在这里，我们先援引众多教科书中的经典例子，即设一个正方向的边长为 x ，而它的面积 S=x^2 ，如图所示：

这时候，我们将正方形的边长增加一小段长度 \Delta x ，则新的正方形面积与原正方形面积的差值就由如图中所示的两块浅绿色的长方形和一小块浅黄色的位于角落的小正方形三部分所组成，即：

\Delta S=x\cdot \Delta x+\Delta x\cdot x+\Delta \cdot x \Delta x=2x\Delta x+(\Delta x)^2

这里的 \Delta S 是没有任何误差的完整增量，我们可以把它叫做全增量。接着我们对 \Delta x\rightarrow 0 ，让它趋近于无穷小。这时候我们发现，那一小块浅黄色小正方形部分的面积 (\Delta x)^2 相比于另外两块浅绿色的部分 2x \Delta x 成为了在前一篇笔记中无穷小比阶概念中的高阶无穷小！也就是说前者趋近于零的速度要远远的大于后者，因此，如果我们选择忽略高阶无穷小的部分，将剩下的增量记为部分增量 dS （因为它与全增量之间存在着误差），它就等于忽略了高阶无穷小后剩下的部分，我们记它们为增量的线性主部即面积函数 S 的微分，可表示为：

dS=2xdx ，我们把 dx 除过去以后，就变成了 \frac{d S}{d x}=2x，dx\rightarrow 0

而我们已经知道，对函数的增量与自变量的增量比值取极限正是在求函数的导数啊：

\frac{dS}{dx}=S \prime(x)

将这一概念进一步的推广，对于函数 y ，可以有 \frac{dy}{dx}=y\prime

可以看到，导数与微分是两个关系极其紧密甚至于可以说是相互等价的概念。我们从这个由莱布尼茨使用的导数表示方式中就可以理解，为什么在一些早期的教科书中导数也被称作微商，即它同时蕴含了微分的商与自变量的增量趋于微小时的商两个含义。

不过，由这个常见于教科书的引例出发去理解微分虽然比较直观，但是在某种程度上是有些浅显的。

因为当我们在往后的学习中会发现，如果把微分的概念始终局限在这个正方形面积的简陋初始印象上，将会使得我们以后在碰到一些更复杂的函数图形甚至是无法直接进行具象思考的内容时变得非常难以理解。

要想理解微分的真正本质，我们就必须回答这个问题：微积分究竟在讲什么。

我相信几乎每个人在学习数学的过程中都会问自己一个问题：我学数学是为了什么，我买菜会用到微积分吗？

但是事实上，我们日常生活中对于微积分的运用实际上远远超过自己的想像。

微积分的本质，其实是在描述我们现实世界中各式各样的事物。从顽石到流水，从屹立千年的石桥到聚散不息的风云，从人类历史中发明的各种坚船利炮到浩瀚无垠的宇宙繁星，从悦耳动听的音乐到摸不见碰不着的磁场力场。

而在描述的过程中，微分是我们对于事物进行解构、拆分的过程，积分是我们对于事物进行还原、组装的过程。就如同乐高积木，我们将一个乐高模型拆解成一块块积木的过程就是微分，而将一块块积木搭建成一个完整模型的过程就是积分。

微积分就是数学的画笔，在人类文明的画卷上将万事万物一一描绘。将它比喻成画笔不仅仅是一种文学意义上的修辞，而是对于微积分思想的一种具象刻画。如果你学过素描，将非常容易体验这种过程：

素描大致分为起型、塑造形体、深入细化这样的绘画步骤。

在起型阶段，我们常常使用较长较直的线段刻画物体的大致轮廓，换句话说，我们是在用直线代替曲线来描绘物体。

那么你在下笔时，是如何知道这条直线该以如何的走向才能正确描绘物体的形状呢？你肯定会回答：绘画的基本常识告诉我们，线条应该沿着物体某一处轮廓变化的方向——那这，不正是前面我们所讨论的导数的意义吗？不正是导数为我们指明了曲线在一点处向两侧邻域的变化方向吗？——所以你看，其实你竟然在绘画的过程中，就已经不知不觉的运用着微积分的原理。

现在，如果我们把微积分是在用以直代曲的思想来分解、还原一个物体这句话翻译为数学语言，就是在说：微积分，就是我们在用线性工具去拟合非线性对象的过程。

我这里用另一个例子，假如你用过3D Max或者Maya这样的3D建模软件，将能有更直观的体验：

为了拟合一个光滑的球面，我们通过不断增加平面的数量来越来越靠近理想的球面。而这个线性细分的过程，正是微分的本质含义。

这里，你也许会问，既然是线性拟合，那么，它总是存在一定的误差的呀，你如何保证微积分是精确的呢。

对此，我将再次也是最后一次阐述我们在《从极限开始》那篇文章中就提到的概念，极限是一个过程的意思即极限所描述和研究的就是过程本身。就如同阿喀琉斯最终会追上乌龟一样，我们对事物的拟合最终也会到达事物百分之百的样子；而如同芝诺悖论本身就是在叙述阿喀琉斯追上乌龟前的这一过程一样，微积分本身也就是在描述和研究拟合完成前的这一过程。

在以后的文章中，我们将不会再赘述对极限这一概念的理解。

有了上面的认识以后，我们对于微分运算就有了更形象的理解。

当我们说函数在一点可微，即意味着是在说我们可以在这一点附近对函数进行线性拟合式的分解，而进行线性拟合的过程就是求导的过程，所以函数在一点可微与函数在一点可导其实是两个等价的表述，即：

可微 \iff 可导

而若函数在一点可导，根据定义可证，函数在这一点必连续；但是若函数在一点处连续，却无法推出函数在这一点处可导，比如角点的存在，故有：

可微 \iff 可导 \implies 连续

当我们把一个函数放在微分号 d 的后面时，即可以认为我们实际上是在对它进行解构。

比如，现在有一个微分的计算式： d(x^2+a^2)=2xdx

可以使用一个类比来让我们从解构、组合的角度看待微积分。

学过初中生物常识的我们都知道，细胞是构成人体解构的基本组成单位，由大量的同类同功能细胞组合在一起形成各种组织，如上皮组织，结缔组织等；各种组织按照一定的次序有效结合形成人体的各种器官，比如大脑，心脏等；多个器官发挥不同的功能相互配合后形成我们人体的八大系统，如其中的呼吸系统、消化系统；这八大系统的结合才最终构成我们的人体。

可以看得出，当我们沿着：

细胞 \rightarrow 组织 \rightarrow 器官 \rightarrow 系统 \rightarrow 人体的次序对人体进行构成，这，就是积分的过程；

人体 \rightarrow 系统 \rightarrow 器官 \rightarrow 组织 \rightarrow 细胞的次序对人体进行解构，这，就是微分的过程。

将d(x^2+a^2) 拆解为 2xdx ，就如同以细胞为单位对组织进行分解。

这里，重要的一点在于：我们对于人体或者其它任何复杂事物的解构过程，并不总从最小最基础的细胞或单元开始进行的。

如通常来说，我们会先以系统为一个整体单位对人体的构成进行拆分，而后再对系统以器官为整体单位进行再细一步的拆分。

这就如同我们对复合函数 y = f(u)，u=g(x) 的微分过程一样，我们也是先以 u 为整体对 y 进行分解，再以 x 为单位对 u 进行分解。

我们以一个具体的例子来进行说明，有函数： y=e^{3x^2-1},u=3x^2-1

第一步： dy=e^{3x^2-1}du

这里的 y 就相当于人体， u 就如同系统，我们先以系统为整体对人体进行解构；

第二步： du=6xdx

就是以器官为整体对系统在进行解构；

故 dy=e^{3x^2-1}du=e^{3x^2-1}\cdot 6xdx 的过程就如同是人体 \rightarrow 系统 \rightarrow 组织这样相似的解构过程。

因此我们可以对复合函数的微分总结可得： dy=f\prime (u)g\prime (x)dx

因此在微积分的计算中，很多时候我们需要通过将更小的微元比如 dx 还原为更大的整体来解决问题比如：

xdx=\frac{1}{2}d(x^2+a^2)

这种方法，也是积分运算方法中第一类换元法的核心思想。

现在我们有了复合函数的求导法则，接着在导数定义的基础上，我们可以进一步推导出更导数（微分）的运算法则，这里简单的举一个例子：

根据导数的定义：

[u(x)v(x)]\prime=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}

我们对分子进行处理，加减一个 v(x+\Delta x)u(x) ：

\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)u(x)+v(x+\Delta x)u(x)-u(x)v(x)}{\Delta x}

整理后得：

\frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]+u(x)[v(\Delta x-v(x)]}{\Delta x}

故当 \Delta x\rightarrow 0 时：

\frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]+u(x)[v(\Delta x-v(x)]}{\Delta x}=v(x+\Delta x)\cdot u \prime+u\cdot v\prime

而 u(x+\Delta x)\rightarrow u(x) ，故推出：

[u(x)v(x)]\prime=u\prime v+uv\prime

按照同样的办法，导数（微分）其它运算法则的推导在这里将不再赘述。

有了导数这个工具之后：

这里，我们可以聊一个非常有趣的例子，它也将会为我们在下一篇文章中讨论数形结合相关的内容前预先埋下一个基础：

我们知道，当我们在求一个方程的根时，相对应的，实际上是在求等式左侧的函数与 y=0 也即 x 轴有几个交点。

譬如，对于二元一次方程的求根，实际上就是在研究函数 f(x)=ax^2+bx+c 与 x 轴的位置关系，再进一步的，就是在求 f(x) 的最值点与 x 轴的关系。

既然是求最值，那么首先，我们来求极值，函数的极值点即一阶导数为零而二阶导数不为零的点，故：

f\prime(x)=2ax+b,f\prime\prime(x)=2a ，由于需要满足二元一次方程的前提，故由 a\neq 0 可知，二阶导必不得零，故我们只需要令一阶导为零，则求出来的必是函数的极值点：

f\prime(x)=2ax+b=0\implies x=-\frac{b}{2a}

然后我们将 x 带回原方程求得极值点的值：

f(x)=a(-\frac{b}{2a})^2+b\cdot (-\frac{b}{2a})+c=\frac{4ac-b^2}{4a}

如此要进一步讨论凹凸性来判断这个极值点具体是什么值：

若 a>0 ，则二阶导为正，故 \frac{4ac-b^2}{4a} 为函数的极小值点，又根据一阶导数在 -\frac{b}{2a} 两侧的正负性分析，函数在其左侧为单调减，右侧为单调增，故该极小值点也是函数的最值点。若要函数与 x 轴有交点，则该点必须位于 x 轴的下方，故只需要满足 4ac-b^20

我们利用导数工具与数形结合的思想，从研究函数的极值、单调性、凹凸性的角度推导出了二元一次方程根的判别式 \Delta=b^2-4ac 的原理，它的含义之一便是在判断函数的极值点与 x 轴的关系。

在中学阶段，我们更多的是在研究函数本身的性质。而在微积分中，我们将研究的范围进一步拓展到了导函数上。在下一篇文章中，我们将在微分与导数定义及性质的基础上，看看能进一步推导出什么。