一、Bessel函数引入

简单来说（简单不了一点...），在对偏微分方程利用分离变量法后，分离出来的常微分方程有时候会是变系数方程，在这种情况下，其解一般不是初等函数，而是用收敛的无穷级数和多项式来表示，这就是一些特殊函数，例如贝塞尔函数、勒让德多项式和连带勒让德函数。贝塞尔方程则是在柱坐标分离变量后自然出现的，贝塞尔方程的解就是贝塞尔函数。

其中径向方程处理后为 r^2R''+rR'+(r^2-m^2)R=0 ，这个则是标准的m阶贝塞尔方程。

二、贝塞尔方程的解

求解贝塞尔方程的过程相对繁琐和复杂，这里不加证明地指出对于径向方程也就是贝塞尔方程来说，通解为 R(r)=C_1J_m(r)+C_2Y_m(r) ,其中 C_1,C_2 为待定系数

对于Bessel函数而言，存在如下递推关系：

三、习题

常考的几类题型：

1.Bessel方程的解

Bessel 方程的标准形式： x^2y''+xy'+(x^2-n^2)y=0 ，解为 y=AJ_n(x)+BY_n(x)

例题一

Bessel 方程 x^2y''+xy'+(x^2-5)y=0 的通解为_______。

直接代入公式公式即可，通解为 y=CJ_\sqrt{5}(x)+DY_\sqrt{5}(x)

例题二

证明 y=xJ_n(x) 是方程 x^2y''-xy'+(1+x^2-n^2)y=0

证明：若 y=xJ_n(x) ，则 y'=xJ'_n(x)+J_n(x),y''=xJ''_n(x)+2J'_n(x)

代入方程中可知 x^3J''_n(x)+2x^2J'_n(x)-x^2J'_n(x)-xJ_n(x)+(1+x^2-n^2)xJ_n(x)=x^3J''_n(x)+x^2J'_n(x)+(x^2-n^2)xJ_n(x)=x(x^2J''_n(x)+xJ'_n(x)+(x^2-n^2)J_n(x))

J_n(x) 是 Bessel 方程 x^2y''+xy'+(x^2-n^2)y=0 的解，则 x^2J''_n(x)+xJ'_n(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0 ， lhs=rhs ，证毕.

其他证明题也是类似的思路.

2.Bessel函数的递推关系

例题一

\int xJ_n(x)= _ xJ_1(x)+C_1 _.

\frac{d}{dx} J_0(x)= _ -J_1(x) _. 这个就是上面递推公式中的特例.

*例题二

求解 \int_{0}^{x}x^3J_0(ax)dx .

3.轴对称定解问题

对于常微分方程第一步都是先进行分离变量，用分离变量法得到两组常微分方程，对 k 进行分类讨论，求出其中一个常微分方程的解，同理可以得出另一个微分方程的解，然后一般解就是这两个通解相乘.

鸣谢：图片均来自于本人工数老师的ppt，本人对数学物理方程这块的理解有待加深，如有错误请帮忙指正.