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Bessel 函数
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Bessel 函数是 Bessel 方程的解，Bessel 方程是指如下关于复变函数 y = y ( z ) {\displaystyle y=y(z)} 的二阶常微分方程： d 2 y d z 2 + 1 z d y d z + ( 1 − ν 2 z 2 ) y = 0 {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} z^{2}}}+{\dfrac {1}{z}}{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} z}}+\left(1-{\dfrac {\nu ^{2}}{z^{2}}}\right)y=0} 其中，复常数 ν {\displaystyle \nu } 称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点， 0 , ∞ {\displaystyle 0,\infty } 分别是正则和非正则的奇点。 目录 1 第一类 Bessel 函数 2 性质 3 半奇数阶 Bessel 函数 4 整数阶 Bessel 函数 4.1 积分表达式 5 z/2的幂次展开 第一类 Bessel 函数[]当 2 ν {\displaystyle 2\nu } 非整数时，原方程在原点处有两个线性无关的解，分别记做 J + ν ( z ) , J − ν ( z ) {\displaystyle J_{+\nu }(z),J_{-\nu }(z)} ，此时方程有两个指标 ± ν {\displaystyle \pm \nu } 。按照二阶线性常微分方程的正则奇点的求解，可以得到这两个解的级数表达： J ± ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! 1 Γ ( ± ν + k + 1 ) ( z 2 ) k ± ν ( ∗ ) {\displaystyle J_{\pm \nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{k}}{k!}}{\dfrac {1}{\Gamma (\pm \nu +k+1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{k\pm \nu }\quad (*)}当 2 ν = 2 n {\displaystyle 2\nu =2n} 时，上述两个依然是原方程的解，但它们已经不是线性相关的了，容易观察到 J − n ( z ) = ( − 1 ) n J n ( z ) . {\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z).} 这是需要想办法寻求另外一个线性无关的解，这就引出第二类 Bessel 函数。当 2 ν = 2 n + 1 {\displaystyle 2\nu =2n+1} 时，方程的上述两个解依然线性无关。 我们称由 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 定义的两个函数是 ν {\displaystyle \nu } 阶第一类 Bessel 函数，或简称 ν {\displaystyle \nu } 阶 Bessel 函数。当 ν {\displaystyle \nu } 不是整数时，它是关于 z {\displaystyle z} 在割去负实轴后的解析函数，而关于 ν {\displaystyle \nu } 是整函数。 性质[]基本性质： 导数递推关系： d d z ( z ν J ν ( z ) ) = z ν J ν − 1 , d d z ( z − ν J − ν ( z ) ) = − z − ν J ν + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}(z^{\nu }J_{\nu }(z))&=z^{\nu }J_{\nu -1},\\{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}(z^{-\nu }J_{-\nu }(z))&=-z^{-\nu }J_{\nu +1}.\end{aligned}}} 基本递推关系： J ν − 1 + J ν + 1 = 2 ν z − 1 J ν , J ν − 1 − J ν + 1 = 2 J ν ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu -1}+J_{\nu +1}&=2\nu z^{-1}J_{\nu },\\J_{\nu -1}-J_{\nu +1}&=2J'_{\nu }.\end{aligned}}} 旋转公式： J ± ν ( z e i π ) = e ± ν i π J ± ν ( z ) . {\displaystyle J_{\pm \nu }(z{\text{e}}^{{\text{i}}\pi })={\text{e}}^{\pm \nu {\text{i}}\pi }J_{\pm \nu }(z).} 高阶导数递推关系： ( d z d z ) m ( z ν J ν ( z ) ) = z ν − m J ν − m , ( d z d z ) m ( z − ν J − ν ( z ) ) = ( − 1 ) m z − ν − m J ν + m . {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}(z^{\nu }J_{\nu }(z))&=z^{\nu -m}J_{\nu -m},\\\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}(z^{-\nu }J_{-\nu }(z))&=(-1)^{m}z^{-\nu -m}J_{\nu +m}.\end{aligned}}}其他性质： J ν + n ( z ) = ( − i ) n Γ ( 2 ν ) n ! ( z / 2 ) n π Γ ( ν + 1 / 2 ) Γ ( 2 ν + n ) ∫ 0 π e i z cos θ sin 2 ν θ C n ν ( cos θ ) d θ . {\displaystyle J_{\nu +n}(z)={\dfrac {(-{\text{i}})^{n}\Gamma (2\nu )n!(z/2)^{n}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +1/2)\Gamma (2\nu +n)}}\int _{0}^{\pi }{\text{e}}^{{\text{i}}z\cos \theta }\sin ^{2\nu }\theta C_{n}^{\nu }(\cos \theta )\mathrm {d} \theta .} 其中 C n ν ( x ) {\displaystyle C_{n}^{\nu }(x)} 是特种球多项式， n ∈ N , Re ( ν + 1 / 2 ) > 0. {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,{\text{Re}}(\nu +1/2)>0.} J ν ( z 1 + k ) = ( 1 + k ) n u 2 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! ( k z 2 ) m J ν + m ( z ) = ( 1 + k ) − n u 2 ∑ m = 0 ∞ 1 m ! ( k z 2 ) m J ν − m ( z ) , | k | ( μ + 1 ) Γ ( ν − μ ) ∑ m = 0 ∞ Γ ( ν − μ − m ) m ! Γ ( ν + m + 1 ) ( z 2 ) ν − μ + m J μ + m ( z ) . {\displaystyle J_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\mu +1)}{\Gamma (\nu -\mu )}}\sum _{m=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (\nu -\mu -m)}{m!\Gamma (\nu +m+1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +m}J_{\mu +m}(z).} 这里 μ ≠ ν , μ ≠ − 1 , − 2 , ⋯ . {\displaystyle \mu \neq \nu ,\mu \neq -1,-2,\cdots .} z 2 4 [ J ν − 1 2 ( z ) − J ν − 2 ( z ) J ν ( z ) ] = ∑ n = 0 ∞ ( ν + 2 n ) J ν + 2 n 2 ( z ) . {\displaystyle {\dfrac {z^{2}}{4}}\left[J_{\nu -1}^{2}(z)-J_{\nu -2}(z)J_{\nu }(z)\right]=\sum _{n=0}^{\infty }(\nu +2n)J_{\nu +2n}^{2}(z).} 半奇数阶 Bessel 函数[]当 2 ν = 2 n + 1 {\displaystyle 2\nu =2n+1} 时上述定义的 Bessel 函数有更好的性质：可以表达为初等函数，即 J n + 1 / 2 = ( − 1 ) n 2 π z z n + 1 ( d z d z ) m sin z z , J − n − 1 / 2 = 2 π z z n + 1 ( d z d z ) m cos z z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+1/2}&=(-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}z^{n+1}\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}{\dfrac {\sin z}{z}},\\J_{-n-1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}z^{n+1}\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}{\dfrac {\cos z}{z}}.\end{aligned}}} 它们的显式表达式是 J n + 1 / 2 = 2 π z sin ( z − n π 2 ) ∑ r = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) r ( n + 2 r ) ! ( 2 r ) ! ( n − 2 r ) ! ( 2 z ) 2 r + cos ( z − n π 2 ) ∑ r = 0 [ n = 1 2 ] ( − 1 ) r ( n + 2 r + 1 ) ! ( 2 r + 1 ) ! ( n − 2 r − 1 ) ! ( 2 z ) 2 r + 1 , J − n − 1 / 2 = 2 π z cos ( z + n π 2 ) ∑ r = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) r ( n + 2 r ) ! ( 2 r ) ! ( n − 2 r ) ! ( 2 z ) 2 r − sin ( z + n π 2 ) ∑ r = 0 [ n = 1 2 ] ( − 1 ) r ( n + 2 r + 1 ) ! ( 2 r + 1 ) ! ( n − 2 r − 1 ) ! ( 2 z ) 2 r + 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sin \left(z-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}+\cos \left(z-{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\J_{-n-1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}-\sin \left(z+{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\\end{aligned}}}如下的式子左端可以视作奇数阶 Bessel 函数的母函数： 2 π z cos z 2 − 2 z t = ∑ n = 0 ∞ t n n ! J n − 1 / 2 ( z ) , 2 π z sin z 2 + 2 z t = ∑ n = 0 ∞ t n n ! J 1 / 2 − n ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\dfrac {2}{\pi z}}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}}{n!}}J_{n-1/2}(z),\\{\sqrt {\dfrac {2}{\pi z}}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}}{n!}}J_{1/2-n}(z).\end{aligned}}} 这里 | t | z 2 ( t − 1 t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n ( z ) t n . {\displaystyle \exp {\dfrac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)t^{n}.} e i z cos θ = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ i n J n ( z ) cos n θ . {\displaystyle {\text{e}}^{{\text{i}}z\cos \theta }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\text{i}}^{n}J_{n}(z)\cos n\theta .} J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) = 1. {\displaystyle J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)=1.} ∑ n = − ∞ + ∞ J n 2 ( z ) = 1. {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}^{2}(z)=1.} 当 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 时， | J 0 ( x ) | ⩽ 1 , | J n ( x ) | ⩽ 1 / 2 , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ . {\displaystyle |J_{0}(x)|\leqslant 1,|J_{n}(x)|\leqslant 1/{\sqrt {2}},n=1,2,3,\cdots .} 加法公式： J n ( x + y ) = ∑ k = − ∞ + ∞ J k ( x ) J n − k ( x − y ) . {\displaystyle J_{n}(x+y)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }J_{k}(x)J_{n-k}(x-y).} 假设 R = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos θ {\displaystyle R={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \theta }}} ，那么 J 0 ( R = J 0 ( r 1 ) J 0 ( r 2 ) + 2 ∑ m = 1 ∞ J m ( r 1 ) J m ( r 2 ) cos m θ . {\displaystyle J_{0}(R=J_{0}(r_{1})J_{0}(r_{2})+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{m}(r_{1})J_{m}(r_{2})\cos m\theta .} d r d z r J n ( z ) = 1 2 r ∑ k = 0 r ( − 1 ) k ( k r ) J n − r + 2 k ( z ) {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} ^{r}}{\mathrm {d} z^{r}}}J_{n}(z)={\dfrac {1}{2^{r}}}\sum _{k=0}^{r}(-1)^{k}{\binom {k}{r}}J_{n-r+2k}(z)} z sin z = 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( 2 k ) 2 J 2 k ( z ) {\displaystyle z\sin z=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}(2k)^{2}J_{2k}(z)} z cos z = 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 1 ) 2 J 2 k − 1 ( z ) {\displaystyle z\cos z=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}(2k-1)^{2}J_{2k-1}(z)} J 2 n ( z ) = ( − 1 ) n ∑ m = 0 n ( − 1 ) m 2 m m ! ∏ k = 0 m − 1 ( n 2 − k 2 ) J m ( z ) z m . {\displaystyle J_{2n}(z)=(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\dfrac {2^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}(n^{2}-k^{2}){\dfrac {J_{m}(z)}{z^{m}}}.} J n 2 ( z ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( 2 n + 2 m ) ! m ! ( 2 n + m ) ! ( n + m ) ! 2 ( z 2 ) 2 n + 2 m . {\displaystyle J_{n}^{2}(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{m}(2n+2m)!}{m!(2n+m)!(n+m)!^{2}}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2n+2m}.} J 0 ( θ ) = lim n → ∞ P n ( cos θ n ) . {\displaystyle J_{0}(\theta )=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(\cos {\dfrac {\theta }{n}}\right).} 这里 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} 是 Legendre 多项式。 积分表达式[]J n ( z ) {\displaystyle J_{n}(z)} 有如下的一些积分表示： Poisson 表达式： J n ( z ) = ( z / 2 ) n π Γ ( n + 1 / 2 ) ∫ 0 π cos ( z cos θ ) sin 2 n θ d θ . {\displaystyle J_{n}(z)={\dfrac {(z/2)^{n}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (n+1/2)}}\int _{0}^{\pi }\cos(z\cos \theta )\sin ^{2n}\theta \mathrm {d} \theta .} Bessel 表达式： J n ( z ) = 1 2 π ∫ − π π cos ( n θ − z sin θ ) d θ . {\displaystyle J_{n}(z)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )\mathrm {d} \theta .} J 0 ( z 2 − t 2 ) = 1 π ∫ 0 π e t cos θ cos ( z sin θ ) d θ . {\displaystyle J_{0}({\sqrt {z^{2}-t^{2}}})={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\text{e}}^{t\cos \theta }\cos(z\sin \theta )\mathrm {d} \theta .} J n 2 ( z ) = 1 π ∫ 0 π J 2 n ( 2 z cos θ ) d θ = 2 π ∫ 0 π 2 J 2 n ( 2 z sin θ ) d θ = 1 π ∫ 0 π J 2 n ( 2 z sin θ ) d θ = 1 π ∫ 0 π J 0 ( 2 z sin θ ) cos 2 n θ d θ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}^{2}(z)&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{2n}(2z\cos \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}J_{2n}(2z\sin \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{2n}(2z\sin \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{0}(2z\sin \theta )\cos 2n\theta \mathrm {d} \theta .\end{aligned}}} z/2的幂次展开[] ( z 2 ) m = ∑ n = 0 ∞ ( m + n − 1 ) ! ( m + 2 n ) n ! J m + 2 n ( z ) . {\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(m+n-1)!(m+2n)}{n!}}J_{m+2n}(z).} 此外还有 ( z 2 ) 2 m = ( m ! ) 2 ( 2 m ) ! ∑ n = 0 ∞ ( 2 m + n − 1 ) ! ( 2 m + 2 n ) n ! J m + n 2 ( z ) , ( z 2 ) 2 m − 1 = m ! ( m − 1 ) ! ( 2 m − 1 ) ! ∑ n = 0 ∞ ( 2 m + n − 2 ) ! ( 2 m + 2 n − 1 ) n ! J m + n − 1 ( z ) J m + n ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2m}&={\dfrac {(m!)^{2}}{(2m)!}}\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2m+n-1)!(2m+2n)}{n!}}J_{m+n}^{2}(z),\\\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2m-1}&={\dfrac {m!(m-1)!}{(2m-1)!}}\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2m+n-2)!(2m+2n-1)}{n!}}J_{m+n-1}(z)J_{m+n}(z).\end{aligned}}} 一般地，假设 ν ≠ − 1 , − 2 , ⋯ {\displaystyle \nu \neq -1,-2,\cdots } ，那么有 ( z 2 ) ν = ∑ n = 0 ∞ ( ν + 2 n ) Γ ( ν + n ) n ! J ν + 2 n ( z ) . {\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\nu }=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\nu +2n)\Gamma (\nu +n)}{n!}}J_{\nu +2n}(z).} 进一步假设 ν , μ , ν − μ ≠ − 1 , − 2 , ⋯ {\displaystyle \nu ,\mu ,\nu -\mu \neq -1,-2,\cdots } ，那么有 ( z 2 ) μ − ν J ν ( z ) = Γ ( ν + 1 − μ ) ∑ n = 0 ∞ ( μ + 2 n ) Γ ( μ + n ) n ! Γ ( ν + 1 − μ − n ) Γ ( ν + n + 1 ) J μ + 2 n ( z ) . {\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\mu -\nu }J_{\nu }(z)=\Gamma (\nu +1-\mu )\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\mu +2n)\Gamma (\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +1-\mu -n)\Gamma (\nu +n+1)}}J_{\mu +2n}(z).} 特殊函数论（学科代码：1104170，GB/T 13745—2009） 特殊多项式 正交多项式 ▪ Bernoulli 多项式 ▪ Euler 多项式 ▪ Chebyshev 多项式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式 Euler 积分 Γ 函数 ▪ Euler 无穷乘积公式 ▪ Weierstrass 无穷乘积公式 ▪ 对数 Γ 函数 ▪ Dirichlet 积分 ▪ Β 函数 ▪ Riemann ζ 函数 ▪ Hermite 公式 超几何函数 超几何级数 ▪ 超几何方程 ▪ Barnes 积分 ▪ Jacobi 多项式 ▪ Kummer 公式 ▪ 广义超几何函数 合流超几何函数 Whittaker 方程 ▪ Whittaker 函数 ▪ 第二类 Whittaker 函数 ▪ Weber 方程 ▪ Hermite 函数 Legendre 函数 Legendre 方程 ▪ Rodrigues 公式 ▪ 第二类 Legendre 函数 Bessel 函数 Bessel 方程 ▪ 第二类 Bessel 函数 ▪ 第三类 Bessel 函数 ▪ 变型 Bessel 函数 ▪ 球 Bessel 函数 ▪ Thomson 函数 ▪ Neumann 展开 椭圆函数 椭圆积分 ▪ ϑ 函数 ▪ 全椭圆积分 ▪ Jacobi 椭圆函数 ▪ 第二类椭圆积分 ▪ 第三类椭圆积分 ▪ Leme 函数 所在位置：数学（110）→ 函数论（11041）→ 特殊函数论（1104170） |
的二阶常微分方程：
其中，复常数
ν
{\displaystyle \nu }
称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点，
0
,
∞
{\displaystyle 0,\infty }
分别是正则和非正则的奇点。
目录
1 第一类 Bessel 函数
2 性质
3 半奇数阶 Bessel 函数
4 整数阶 Bessel 函数
4.1 积分表达式
5 z/2的幂次展开
第一类 Bessel 函数[]
非整数时，原方程在原点处有两个线性无关的解，分别记做
J
+
ν
(
z
)
,
J
−
ν
(
z
)
{\displaystyle J_{+\nu }(z),J_{-\nu }(z)}
，此时方程有两个指标
±
ν
{\displaystyle \pm \nu }
。按照二阶线性常微分方程的正则奇点的求解，可以得到这两个解的级数表达：
时，上述两个依然是原方程的解，但它们已经不是线性相关的了，容易观察到
这是需要想办法寻求另外一个线性无关的解，这就引出第二类 Bessel 函数。
时，方程的上述两个解依然线性无关。
定义的两个函数是
ν
{\displaystyle \nu }
在割去负实轴后的解析函数，而关于
ν
{\displaystyle \nu }
基本递推关系：
J
ν
−
1
+
J
ν
+
1
=
2
ν
z
−
1
J
ν
,
J
ν
−
1
−
J
ν
+
1
=
2
J
ν
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu -1}+J_{\nu +1}&=2\nu z^{-1}J_{\nu },\\J_{\nu -1}-J_{\nu +1}&=2J'_{\nu }.\end{aligned}}}
旋转公式：
J
±
ν
(
z
e
i
π
)
=
e
±
ν
i
π
J
±
ν
(
z
)
.
{\displaystyle J_{\pm \nu }(z{\text{e}}^{{\text{i}}\pi })={\text{e}}^{\pm \nu {\text{i}}\pi }J_{\pm \nu }(z).}
高阶导数递推关系：
(
d
z
d
z
)
m
(
z
ν
J
ν
(
z
)
)
=
z
ν
−
m
J
ν
−
m
,
(
d
z
d
z
)
m
(
z
−
ν
J
−
ν
(
z
)
)
=
(
−
1
)
m
z
−
ν
−
m
J
ν
+
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}(z^{\nu }J_{\nu }(z))&=z^{\nu -m}J_{\nu -m},\\\left({\dfrac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)^{m}(z^{-\nu }J_{-\nu }(z))&=(-1)^{m}z^{-\nu -m}J_{\nu +m}.\end{aligned}}}
其中
C
n
ν
(
x
)
{\displaystyle C_{n}^{\nu }(x)}
是特种球多项式，
n
∈
N
,
Re
(
ν
+
1
/
2
)
>
0.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,{\text{Re}}(\nu +1/2)>0.}
J
ν
(
z
1
+
k
)
=
(
1
+
k
)
n
u
2
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
m
!
(
k
z
2
)
m
J
ν
+
m
(
z
)
=
(
1
+
k
)
−
n
u
2
∑
m
=
0
∞
1
m
!
(
k
z
2
)
m
J
ν
−
m
(
z
)
,
|
k
|
(
μ
+
1
)
Γ
(
ν
−
μ
)
∑
m
=
0
∞
Γ
(
ν
−
μ
−
m
)
m
!
Γ
(
ν
+
m
+
1
)
(
z
2
)
ν
−
μ
+
m
J
μ
+
m
(
z
)
.
{\displaystyle J_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\mu +1)}{\Gamma (\nu -\mu )}}\sum _{m=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (\nu -\mu -m)}{m!\Gamma (\nu +m+1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +m}J_{\mu +m}(z).}
这里
μ
≠
ν
,
μ
≠
−
1
,
−
2
,
⋯
.
{\displaystyle \mu \neq \nu ,\mu \neq -1,-2,\cdots .}
z
2
4
[
J
ν
−
1
2
(
z
)
−
J
ν
−
2
(
z
)
J
ν
(
z
)
]
=
∑
n
=
0
∞
(
ν
+
2
n
)
J
ν
+
2
n
2
(
z
)
.
{\displaystyle {\dfrac {z^{2}}{4}}\left[J_{\nu -1}^{2}(z)-J_{\nu -2}(z)J_{\nu }(z)\right]=\sum _{n=0}^{\infty }(\nu +2n)J_{\nu +2n}^{2}(z).}
![{\displaystyle {\dfrac {z^{2}}{4}}\left[J_{\nu -1}^{2}(z)-J_{\nu -2}(z)J_{\nu }(z)\right]=\sum _{n=0}^{\infty }(\nu +2n)J_{\nu +2n}^{2}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945dc5bc4ed4d8fdd920d46ab2900b7e3291f56d)
半奇数阶 Bessel 函数[]
它们的显式表达式是
J
n
+
1
/
2
=
2
π
z
sin
(
z
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
)
!
(
2
r
)
!
(
n
−
2
r
)
!
(
2
z
)
2
r
+
cos
(
z
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
=
1
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
+
1
)
!
(
2
r
+
1
)
!
(
n
−
2
r
−
1
)
!
(
2
z
)
2
r
+
1
,
J
−
n
−
1
/
2
=
2
π
z
cos
(
z
+
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
)
!
(
2
r
)
!
(
n
−
2
r
)
!
(
2
z
)
2
r
−
sin
(
z
+
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
=
1
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
+
1
)
!
(
2
r
+
1
)
!
(
n
−
2
r
−
1
)
!
(
2
z
)
2
r
+
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sin \left(z-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}+\cos \left(z-{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\J_{-n-1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}-\sin \left(z+{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sin \left(z-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}+\cos \left(z-{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\J_{-n-1/2}&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}}}-\sin \left(z+{\dfrac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n=1}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278a7a404a2e46693467efa40713baef6cd158fa)
这里
|
t
|
z
2
(
t
−
1
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
J
n
(
z
)
t
n
.
{\displaystyle \exp {\dfrac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)t^{n}.}
e
i
z
cos
θ
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
i
n
J
n
(
z
)
cos
n
θ
.
{\displaystyle {\text{e}}^{{\text{i}}z\cos \theta }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\text{i}}^{n}J_{n}(z)\cos n\theta .}
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
(
z
)
=
1.
{\displaystyle J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)=1.}
∑
n
=
−
∞
+
∞
J
n
2
(
z
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}^{2}(z)=1.}
当
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
时，
|
J
0
(
x
)
|
⩽
1
,
|
J
n
(
x
)
|
⩽
1
/
2
,
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
.
{\displaystyle |J_{0}(x)|\leqslant 1,|J_{n}(x)|\leqslant 1/{\sqrt {2}},n=1,2,3,\cdots .}
加法公式：
J
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
J
k
(
x
)
J
n
−
k
(
x
−
y
)
.
{\displaystyle J_{n}(x+y)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }J_{k}(x)J_{n-k}(x-y).}
假设
R
=
r
1
2
+
r
2
2
−
2
r
1
r
2
cos
θ
{\displaystyle R={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \theta }}}
，那么
J
0
(
R
=
J
0
(
r
1
)
J
0
(
r
2
)
+
2
∑
m
=
1
∞
J
m
(
r
1
)
J
m
(
r
2
)
cos
m
θ
.
{\displaystyle J_{0}(R=J_{0}(r_{1})J_{0}(r_{2})+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{m}(r_{1})J_{m}(r_{2})\cos m\theta .}
d
r
d
z
r
J
n
(
z
)
=
1
2
r
∑
k
=
0
r
(
−
1
)
k
(
k
r
)
J
n
−
r
+
2
k
(
z
)
{\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} ^{r}}{\mathrm {d} z^{r}}}J_{n}(z)={\dfrac {1}{2^{r}}}\sum _{k=0}^{r}(-1)^{k}{\binom {k}{r}}J_{n-r+2k}(z)}
z
sin
z
=
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
(
2
k
)
2
J
2
k
(
z
)
{\displaystyle z\sin z=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}(2k)^{2}J_{2k}(z)}
z
cos
z
=
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
(
2
k
−
1
)
2
J
2
k
−
1
(
z
)
{\displaystyle z\cos z=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}(2k-1)^{2}J_{2k-1}(z)}
J
2
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
∑
m
=
0
n
(
−
1
)
m
2
m
m
!
∏
k
=
0
m
−
1
(
n
2
−
k
2
)
J
m
(
z
)
z
m
.
{\displaystyle J_{2n}(z)=(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\dfrac {2^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}(n^{2}-k^{2}){\dfrac {J_{m}(z)}{z^{m}}}.}
J
n
2
(
z
)
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
(
2
n
+
2
m
)
!
m
!
(
2
n
+
m
)
!
(
n
+
m
)
!
2
(
z
2
)
2
n
+
2
m
.
{\displaystyle J_{n}^{2}(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{m}(2n+2m)!}{m!(2n+m)!(n+m)!^{2}}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2n+2m}.}
J
0
(
θ
)
=
lim
n
→
∞
P
n
(
cos
θ
n
)
.
{\displaystyle J_{0}(\theta )=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(\cos {\dfrac {\theta }{n}}\right).}
这里
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
是 Legendre 多项式。
积分表达式[]
有如下的一些积分表示：
Bessel 表达式：
J
n
(
z
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
cos
(
n
θ
−
z
sin
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle J_{n}(z)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )\mathrm {d} \theta .}
J
0
(
z
2
−
t
2
)
=
1
π
∫
0
π
e
t
cos
θ
cos
(
z
sin
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle J_{0}({\sqrt {z^{2}-t^{2}}})={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\text{e}}^{t\cos \theta }\cos(z\sin \theta )\mathrm {d} \theta .}
J
n
2
(
z
)
=
1
π
∫
0
π
J
2
n
(
2
z
cos
θ
)
d
θ
=
2
π
∫
0
π
2
J
2
n
(
2
z
sin
θ
)
d
θ
=
1
π
∫
0
π
J
2
n
(
2
z
sin
θ
)
d
θ
=
1
π
∫
0
π
J
0
(
2
z
sin
θ
)
cos
2
n
θ
d
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}^{2}(z)&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{2n}(2z\cos \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}J_{2n}(2z\sin \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{2n}(2z\sin \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }J_{0}(2z\sin \theta )\cos 2n\theta \mathrm {d} \theta .\end{aligned}}}
z/2的幂次展开[]
(
z
2
)
m
=
∑
n
=
0
∞
(
m
+
n
−
1
)
!
(
m
+
2
n
)
n
!
J
m
+
2
n
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(m+n-1)!(m+2n)}{n!}}J_{m+2n}(z).}
此外还有
(
z
2
)
2
m
=
(
m
!
)
2
(
2
m
)
!
∑
n
=
0
∞
(
2
m
+
n
−
1
)
!
(
2
m
+
2
n
)
n
!
J
m
+
n
2
(
z
)
,
(
z
2
)
2
m
−
1
=
m
!
(
m
−
1
)
!
(
2
m
−
1
)
!
∑
n
=
0
∞
(
2
m
+
n
−
2
)
!
(
2
m
+
2
n
−
1
)
n
!
J
m
+
n
−
1
(
z
)
J
m
+
n
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2m}&={\dfrac {(m!)^{2}}{(2m)!}}\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2m+n-1)!(2m+2n)}{n!}}J_{m+n}^{2}(z),\\\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2m-1}&={\dfrac {m!(m-1)!}{(2m-1)!}}\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2m+n-2)!(2m+2n-1)}{n!}}J_{m+n-1}(z)J_{m+n}(z).\end{aligned}}}
一般地，假设
ν
≠
−
1
,
−
2
,
⋯
{\displaystyle \nu \neq -1,-2,\cdots }
，那么有
(
z
2
)
ν
=
∑
n
=
0
∞
(
ν
+
2
n
)
Γ
(
ν
+
n
)
n
!
J
ν
+
2
n
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\nu }=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\nu +2n)\Gamma (\nu +n)}{n!}}J_{\nu +2n}(z).}
进一步假设
ν
,
μ
,
ν
−
μ
≠
−
1
,
−
2
,
⋯
{\displaystyle \nu ,\mu ,\nu -\mu \neq -1,-2,\cdots }
，那么有
(
z
2
)
μ
−
ν
J
ν
(
z
)
=
Γ
(
ν
+
1
−
μ
)
∑
n
=
0
∞
(
μ
+
2
n
)
Γ
(
μ
+
n
)
n
!
Γ
(
ν
+
1
−
μ
−
n
)
Γ
(
ν
+
n
+
1
)
J
μ
+
2
n
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\mu -\nu }J_{\nu }(z)=\Gamma (\nu +1-\mu )\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\mu +2n)\Gamma (\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +1-\mu -n)\Gamma (\nu +n+1)}}J_{\mu +2n}(z).}
特殊函数论（学科代码：1104170，GB/T 13745—2009）
特殊多项式
正交多项式 ▪ Bernoulli 多项式 ▪ Euler 多项式 ▪ Chebyshev 多项式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式
Euler 积分
Γ 函数 ▪ Euler 无穷乘积公式 ▪ Weierstrass 无穷乘积公式 ▪ 对数 Γ 函数 ▪ Dirichlet 积分 ▪ Β 函数 ▪ Riemann ζ 函数 ▪ Hermite 公式
超几何函数
超几何级数 ▪ 超几何方程 ▪ Barnes 积分 ▪ Jacobi 多项式 ▪ Kummer 公式 ▪ 广义超几何函数
合流超几何函数
Whittaker 方程 ▪ Whittaker 函数 ▪ 第二类 Whittaker 函数 ▪ Weber 方程 ▪ Hermite 函数
Legendre 函数
Legendre 方程 ▪ Rodrigues 公式 ▪ 第二类 Legendre 函数
Bessel 函数
Bessel 方程 ▪ 第二类 Bessel 函数 ▪ 第三类 Bessel 函数 ▪ 变型 Bessel 函数 ▪ 球 Bessel 函数 ▪ Thomson 函数 ▪ Neumann 展开
椭圆函数
椭圆积分 ▪ ϑ 函数 ▪ 全椭圆积分 ▪ Jacobi 椭圆函数 ▪ 第二类椭圆积分 ▪ 第三类椭圆积分 ▪ Leme 函数
所在位置：数学（110）→ 函数论（11041）→ 特殊函数论（1104170）
【本文地址】