对以下变量参见：变量定义

gsl_sf_result * result

gsl_mode_t mode

gsl_sf_result_e10 * result

若无特别说明，本篇代码均来自头文件 gsl_sf_bessel.h

$w^{\prime \prime} = \frac{d^{2} w}{d z^{2}},w^{\prime}=\frac{d w}{d z}$

$z$ 为复数自变量

$\nu$ 为复数常量

$n$ 为整数

微分方程：

$$z^{2} \frac{d^{2} w}{d z^{2}}+z \frac{d w}{d z}+\left(z^{2}-\nu^{2}\right) {w}=0$$

通解构成：

第一类贝塞尔函数：$J_{\pm \nu}(z)$

第二类贝塞尔函数（韦伯函数）：$Y_{\nu}(z)$

第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）：$H_{\nu}^{(1)}(z)、H_{\nu}^{(2)}(z)$

关系式： $$J_{\nu}(z)=\left(\frac{1}{2} z\right)^{\nu} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(-\frac{1}{4} z^{2}\right)^{k}}{k ! \Gamma(\nu+k+1)}$$

$$Y_{\nu}(z)=\frac{J_{{\nu}}(z) \cos ({\nu} \pi)-{J}_{-{\nu}}({z})}{\sin ({\nu} \pi)}$$

阶数：$\nu$

微分方程：

$$z^{2} \frac{d^{2} w}{d z^{2}}+z \frac{d w}{d z}-\left(z^{2}+\nu^{2}\right) w=0$$

通解构成：

第一类修正贝塞尔函数：$I_{\pm \nu}(z)$

第二类修正贝塞尔函数：$K_{\nu}(z)$

关系式：

$$I_{\nu}(z)=i^{-\nu} J_{\nu}(i z)$$

$$K_{\nu}(z)=\frac{1}{2} \pi \frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin (\nu \pi)}$$

微分方程：

$$z^{2} w^{\prime \prime}+2 z w^{\prime}+\left[z^{2}-n(n+1)\right] w=0$$

通解构成：

第一类球贝塞尔函数：$j_n(z)$

第二类球贝塞尔函数：$y_n(z)$

第三类球贝塞尔函数：$h_n^{(1)}(z),h_n^{(2)}(z)$

关系式：

$$j_{n}(z)=\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} J_{n+\frac{1}{2}}(z)$$

$$y_{n}(z)=\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} Y_{n+\frac{1}{2}}(z)$$

$$h_n^{(1)}(z) = j_n(z)+iy_n(z)$$

$$h_n^{(2)}(z) = j_n(z)-iy_n(z)$$

微分方程：

$$z^{2} w^{\prime \prime}+2 z w^{\prime}-\left[z^{2}+n(n+1)\right] w=0$$

通解构成：

第一类修正球贝塞尔函数：$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} I_{n+\frac{1}{2}}(z)$

第二类修正球贝塞尔函数：$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} I_{-n-\frac{1}{2}}(z)$

第三类修正球贝塞尔函数：$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} K_{n+\frac{1}{2}}(z)$

关系式：

$$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} I_{n+\frac{1}{2}}(z) = i^{-n}j_n(iz)$$

$$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} I_{-n-\frac{1}{2}}(z)=i^{-(n+1)}y_n(iz)$$

$$\sqrt{\frac{1}{2} \pi / z} K_{n+\frac{1}{2}}(z)=\frac{1}{2} \pi(-1)^{n+1} \sqrt{\frac{1}{2} \pi / z}\left[I_{n+\frac{1}{2}}(z)-I_{-n-\frac{1}{2}}(z)\right]$$

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) ↩︎