根据康托三分集的构造过程，有如下的区间列：

康托三分集的补集即为 \(G_0\), 其构成区间为 \(I_n\), 集合 \(E\) 即由这些构成区间的中点所成的集。

任取康托三分集中的点 \(x \in P_0 = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} F_n\), 那么 \(x \in F_n, \forall n \in \mathbb{N}\) 成立。 对任意 \(\varepsilon > 0\), 取 \(n \in \mathbb{N}\), 使得 \(\dfrac{1}{3^{n}} < \varepsilon\), 那么 \(x \in F_n\), 从而存在 \(k \in \{ 1, 2, \dots, 2^n \}\), 使得 \(x \in F_{nk}\). 闭区间 \(F_{nk}\) 的长度为 \(\dfrac{1}{3^{n}}\), 所以 \(\forall y \in F_{nk}\), 都有 \(\lvert x - y \rvert \leqslant \varepsilon\). 同时， 闭区间 \(F_{nk}\) 包含了 \(I_{n+1}\) 中的某个开区间 \(I_{n+1, k}, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n}\) (即第 \(n+1\) 步从闭区间 \(F_{nk}\) 中去除的中间 \(\dfrac{1}{3}\) 开区间)，进而包含了 \(I_{n+1, k}\) 的中点， 记其为 \(y_0\), 那么有 \(0 < \lvert x - y_0 \rvert < \varepsilon\), 即 \(y_0 \in \mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E\). 这就证明了 \(x \in P_0\) 是 \(E\) 的聚点。所以有 \(E' \supset P_0\).

反过来，任取 \(x \not\in P_0\), 即有 \(x \in G_0 = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n\), 那么存在 \(n \in \mathbb{N}\), 使得 \(x \in I_n\), 从而存在 \(k \in \{ 1, 2, \dots, 2^{n-1} \}\), 使得 \(x \in I_{nk}\). 如果 \(x\) 是 \(I_{nk}\) 的中点，那么取 \(\varepsilon = \dfrac{1}{3^{n+1}}\), 即有 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \subset I_{nk} \setminus \{ x \}\), 从而 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E = \emptyset\), 这说明了 \(x\) 不是 \(E\) 的聚点。如果 \(x\) 不是 \(I_{nk}\) 的中点，令 \(y_0\) 为 \(I_{nk}\) 的中点， 那么取 \(\varepsilon = \min \left\{ \dfrac{1}{3^{n+1}}, \dfrac{1}{2} \lvert x - y_0 \rvert \right\}\), 这样，去心邻域 \(\mathring{U}(x, \varepsilon)\) 既不包含 \(y_0\), 也不会与 \(F_n\) 中含有的与 \(I_{nk}\) 相邻的任何一个闭区间的中间 \(\dfrac{1}{3}\) 开区间相交， 这样就有 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E = \emptyset\), 也说明了 \(x\) 不是 \(E\) 的聚点。于是我们就证明了 \(\mathscr{C} P_0 \cap E' = \emptyset\), 从而有 \(E' \subset P_0\).

综上所述，有 \(E' = P_0\).