本专栏粗浅地介绍拓扑的基本概念，主要目的是为后续关于流形的内容作铺垫，不知道什么是拓扑，就无法理解流形。

（本来不应该那么晚发的，今天和故友聊天聊太久了导致摆烂几小时）

对于函数极限或映射极限有关的问题，重点在于我们能够定义某个点的邻域。在拓扑空间这个数学对象中，我们可以用最一般的形式研究映射的极限与连续性。

之前我们已经学过了欧氏空间上的开集，我们知道欧氏空间上的开集有以下性质：

空集和全集都是开集

任意多个开集的并是开集

可数个开集的交是开集

将开集的性质抽象化，就成了拓扑的定义：

换句话说，拓扑就是某个集合X以及其开集族构成的序对，或者说，在X中给出一个拓扑，其实就是在X中找出一个满足上述三条性质的一个子集族。对于同一个集合X,可以构造许多不同的拓扑。例如，如果开集族只取空集和全集，就称之为平凡拓扑；如果X中所有子集都是开集，则可以让所有子集构成一个集族，这就成了一个离散拓扑。

在度量空间中，开集的定义刚好满足上述三条性质，因此，定义了开集的度量空间一定是一个拓扑空间。进一步地，对于同一集合上的等价的度量，其导出的拓扑是相同的。

（接下来有大段复制图片内容，本人只能尽自己所能补充说明一下）

关于例2的第一条，证明是显然的：每一个点都可以生成一个开小球包含在X中，显然所有这些小球的并就是X本身，第二条附加的有理条件是没有影响的。度量空间诱导的拓扑空间性质总是很好（毕竟是度量空间）。

由此我们知道只要给出拓扑的基，就可以描述整个拓扑。同时，一个拓扑空间可能有不同的拓扑基。

很自然地，我们可以在拓扑空间上定义点的邻域。一个点可以有很多个邻域（显然）。一个点的所有邻域的集合就是这个点的邻域系。所有点的邻域系构成了一个拓扑基。这个拓扑基给人一种什么感觉呢？有种“只缘身在此山中”的感觉，因为每一个点本身都贡献了基。

怎么理解两个不同的点没有不相交的邻域？在上述的例子中其实是因为在a附近，f和g的左半边相等，右半边不等，而左半边邻域内的f芽的邻域与g芽的邻域是一样的，这就导致了f和g没有不相交的邻域。

但是，在欧式空间中，两个不同的点总能有不相交的邻域，画个图很直观就能体会到。这样的好性质拓扑空间称为豪斯多夫空间。

之前我们知道，拓扑空间是一个集合X以及其子集族构成的一个结构，那么可取Y为X的子集，以及恰当的开集定义，作为拓扑空间的子空间（关键就在于如何定义子集Y中的开集）。子空间Y也是一个拓扑空间。下面给出定义：

“不难验证，由此产生的子集族满足拓扑空间的开集公理”，这里验证：全集Y和空集显然在这个集族中；Y的集族中的集合的交可以看成对应的X的集族中的交再和Y相交，因此仍然在这个集族中（这就是定义），并也是类似的。这就类似于将X中的开集族“限制”在Y上，通过验证得知这种定义是合理的，Y确实是一个拓扑空间。

但是，Y中的开集不一定是X中的开集，因为Y中的开集是X中的开集和Y相交的部分。

此外我们可以定义拓扑空间的直积

上述所说的“只组成拓扑基，但不是拓扑空间所有开集”，在例9中可以很好体现，两个正方形的并不一定是正方形，但开集的并依旧是开集。

尽管我们对拓扑的认知还停留在很粗浅的阶段，但是这些知识足够我们理解拓扑空间上的映射的极限和连续映射。

从现在开始，我们可以着手定义拓扑空间上的极限与连续映射，定义方式完全是照搬欧氏空间中的映射：用邻域定义与极限与连续。这非常自然。值得注意的是，这里的邻域不一定有度量，所以就没有“epsilon-delta”语言，但是如果这是一个由度量空间诱导的拓扑空间，那么由于它有度量，就可以用epsilon-delta”语言来刻画极限与连续，这也是我们学习数分时最原始的定义方式。从这里可以看出，用邻域定义的极限与连续更适合推广。

注：这里的基的概念在上个专栏写了。其实上个专栏就是为本专栏的此处铺垫。

注：如果Y是豪斯多夫拓扑空间，则极限是唯一的，因为假如存在两个极限，那么总会有不相交的邻域，f(x)不可能同时落入这两个邻域，就矛盾了。如果Y不是豪斯多夫拓扑空间，极限有可能不唯一。

现在我们可以给出连续映射的定义。本质上是邻域的推广。

我们学习刚开始学习数学分析的时候就知道，闭区间上的连续函数一致连续，且必能取到最大致和最小值，且必能取到最大值与最小值之间的任意值。换句话说，一维欧氏空间上，连续函数将有界闭集映射为有界闭集。事实上，一个映射是连续映射当且仅当映射的像的开（闭）子集的原像仍是（开）闭子集。（这里很重要的一点在于，拓扑空间中，某个点的邻域一定是开集；相反，一个开集肯定是该开集中任意一个点的邻域，这是定义。）

个人感觉证明过程就是把条件和定义抄了一遍hhhh

抽象代数中我们利用两个群之间的同态+双射，得出两个群的结构相同，甚至可以将它们视作同样的群。群同态保持的是群的运算性质与单位元、逆元，而拓扑空间上的连续映射保持的是两个拓扑空间的开集与闭集性质，连续可逆映射在两个拓扑空间上建立了开集之间的一一对应关系。

正如上图，利用连续+双射，我们可以得出两个拓扑空间同胚，同胚的拓扑空间中的开集通过连续可逆映射一一对应，因此可视作相同的拓扑空间。

然后我们还想知道，拓扑空间上的连续函数是否满足介值定理？是否有一致连续？是否保持紧性？这些整体性质需要更多的拓扑知识铺垫，下一个专栏再说。

参考书籍：

《数学分析》（第二卷）（第七版）B. A. 卓里奇 著 李植 译 高等教育出版社