定理1 在 Rn 中，对于每个 ε>0,x∈Rn ，集合 D(x,ε) 是开的。

证明： 选择 y∈D(x,ε) ，我们必须产生一个 ε′ 使得 D(y,ε′)⊂D(x,ε) 。 图1表明我们可以选择 ε′=ε−d(x,y) ，因为 d(x,y)0 ， D(x,ε) 包含 A 与Rn∖A中的点(这些点可能由 x 本身组成)。

证明：令 x∈bd(A)=cl(A)∩cl(Rn∖A) ，接下来，要么 x∈A 要么 x∈Rn∖A ，如果 x∈A ，根据定理5， x 是Rn∖A的一个聚点，结论成立。对于 x∈Rn∖A 的情况情况类似。 ||

定理7 Rn 中的一个序列 xk 收敛到 x∈Rn 当且仅当对于每个 ε>0 ，存在一个 N 使得n≥N时 ∥x−xn∥0 ，因为 D(x,ε) 是开的，那么有整数 N 使得k≥N 时 xk∈D(x,ε) 或者 d(x,xk)=∥x−xk∥ε 。反过来，假设条件成立且 U 是x 的一个邻域，可以找到 ε>0 使得 D(x,ε)⊂U ，那么有一个 N 使得k≥N时 ∥xk−x∥0 ，选择 N 使得k≥N时 ∥xk−x∥