闲白

如果你是学EE专业的，或者从事电子工程类工作，那你应该体会过，傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换的威力。

早年上学时，常能在学校BBS论坛上，刷到这句话：傅里叶，一生之敌。但咱得承认，傅里叶等相关变换在实践中，是极其实用的存在。

只可惜，我们在教科书上看到的，往往是枯燥的公式，而很少领略过它们的魅力。Roy当年《数字信号处理》97分（满分100），在多年后，面对最简单的信号分析时，依然不知所措。任督二脉没打通，只能“拔剑四顾心茫然”。咱得会把知识转化为武器，用起来。

说到武器，刀枪剑戟、斧钺钩叉，那可太多了。但咱今儿就介绍个实用的：零极点图的速成法，它在系统函数分析、滤波器设计和DSP实操中，都用得上。

本文主要分上下，共三部分：各种变换的现实意义、如何手撕零极点图，Roy的提醒。

这些变换都是啥，有啥用？

凡事皆有意义，故在进入正题之前，为防止纸上谈兵，咱有必要先把“这些变换、零极点，它们都是啥，能干啥？”搞清楚。正所谓: 谋定而后动。

 傅里叶变换: 基础中的基础。高数、信号处理、神经网络，哪都有它。通俗地讲，它能把看似复杂的信号，分解成多个不同频率、简单正弦波们的组合。就好比它把一段音乐，分解成了一段乐谱，乐谱上的每个音符，有其对应的频率和响度。如此，我们能清楚地看到，这段信号的频率构成。 

换句话说，它把我们日常生活中的时间信号，映射到了频域，让我们能从另一个维度（频域）去观察这个世界。下面是我的口哨声，在时域和频域的样子：

 可见，我的口哨声，频率主要在1.3KHz附近，其泛音分布，在频域图上也是清晰可见。对比之下，我们的肉眼在凡间，则只能观察到信号的时域特征。

 再比如，下面是音乐信号，在时域和频域空间中的模样：

有了傅里叶变换，我们就多了个“透过现象看本质”的能力，让咱能从另一个维度去观察世界。咱也能更精确地把信号目标，雕刻成我们想要的样子。

举例：乐器效果器、EQ均衡器等，我们可在原来的音乐中，加入“佐料”，让它产生不同的“味道”。也可以把某些频段的信号干掉（比如歌手唱歌时的齿音），以改善听感。

这是怎么做到的呢？通过下面公式即可。

可上面公式都是指数运算，棘手又抽象。别着急，咱有"欧拉公式"，可直接把它降维成三角函数。这一下子，就建立数据和频率的连接。 

现实生活中，随处可见的是模拟信号，如温度、声音、影像实景等。但在工程应用领域，处理的常为采样后的离散数据。这里也是DFT的主战场。

通过DFT公式和欧拉公式，咱不难看出，对N点数据做傅里叶变换后，也会得到N点的频域结果，且在每个频点身上，都会留下所有时域数据的痕迹。

从数学上看（以一维数据为例），对一个[1*N]矩阵的时域数据做DFT，相当于该[1*N]矩阵与一个[N*N]矩阵相乘。其中，[N*N]是傅里叶展开的算式，该[N*N]矩阵中的每一列，就代表每个频点。

两矩阵相乘后，便得到的频域结果，仍为一个[1*N]的矩阵(频域)，不同的是，该矩阵中的元素都是复数，且信息量更大，包含幅频特性和相频特性。 

DFT在DSP实操中的弊端：

 一、频谱泄露。傅里叶变换是基于周期信号的假设，而实际应用中，数据又多为有限长、且非周期信号，难免会发生频谱泄露。改善方法：搭配采样率和数据点数，选择合适的窗函数。

 二、计算量大。在DFT计算中，每个数据都要做一堆乘法、加法和三角运算，数据量大时，很吃资源。例：对0.17秒时长、采样率48KHz的信号，做8160点的DFT变换，一共要做66585600次乘法，和33288720次加法。但大多数嵌入式平台，算力资源都很宝贵，经不起这么用。解决方法：上FFT（快速傅里叶变换），补齐到8192点的FFT，只需53248次乘法，和106496次加法即可。

 可见，与DFT相比，FFT可节省数百上千倍的计算量。但凡事都有两面性，其谱线位置也受到了2的N次幂的限制。但也别太担心，这已足够应付大多数情况。

拉普拉斯变换：多维的连续傅里叶变换。

别被上面的描述唬住了，这只是我的不严谨措辞（为方便理解）。说它多维度，是因为它在傅里叶变换的基础上，引入了衰减因子，即多乘了个e^(-σt)做衰减。

你可能会纳闷：人家傅里叶算得好好的，拉普拉斯为啥非要加衰减因子呢？

根本原因：有些信号并不老实，会随着时间的延展越来越大，不收敛。对于这些信号，只靠傅里叶，就压制不住了，得上新武器：衰减因子。

上图是e^(-σt)威力的简单体现，衰减力度不可谓不大。有了它，我们就能基于此"幅度制约术"，去约束那些不可控信号了。

为了表达简洁，我们对s做了层数学封装（令s= σ + jω），请先记住它们，因为σ 和 jω将是S域零极点图中的横纵轴坐标。

不难理解，当σ=0时，衰减因子=1，此时不增不减，“拉普拉斯变换”就是“傅里叶变换”本体；

当σ=1时，拉普拉斯变换在幅度上，会比傅里叶变换更小些；

当σ=2时，拉普拉斯变换在幅度上，会更小些；

...反过来，当σ

好，让我们再发挥下想象力: 傅里叶变换，其实就是拉普拉斯变换在σ=0处的一个切片。

在拉普拉斯变换空间中，有着无数多个类似的切片，它们幅度随σ的不同而不同，举例如下：

 S域的坐标图，其实就是上图的俯视图（二维），幅度的凸凹（即极点和零点），只能用x和o表示。

说到这，有没有联想到，咱高中物理课本上的，通电螺线管的磁感线方向？对，它也是用x和o来表示方向的。

注意：拉普拉斯变换，只是针对连续信号的。实战中，其应用场景，主要在模拟电路上。比如，你要用运算放大器，设计一款贝赛尔滤波器。与数字滤波器设计类似，你只需有目标Q值、截至带宽、中心频率等即可，它们可轻松对应到其S域的传递函数。

 曾有个日本人，把他多年用拉式变换 + 有源滤波器的经验，总结成了一本书，有不少干货，非常推荐。

S域传递函数H(s)，和具体电路怎么联系？别忘了，s≈jw，而容抗Xc=1/sC，感抗Xl=sL，就这样，咱可在运放电路上列节点方程，得到对应的Vo/Vi = H(s)，它代表了该电路系统的特征。我们根据这个传函，分解之，就能得到其零极点数量与位置了。

 至此，你就可以开启上帝视角，去分析/设计滤波器了。

Z变换：叠了甲的拉普拉斯变换。

 说Z变换叠甲，是因为它在拉式变换的基础上，又做了层封装。引入了z=e^(sT)，其中, s= σ + jω, T为采样时间（即1/fs）。

 有朋友又纳闷了，本来就头大了，竟还多此一举？原因有二：

 一、Z变换成功地把拉式变换，从连续域变到了离散域。如此，Z变换就在数字世界和物理世界之间，搭了座桥。我们也就可以借此，在数字域大有作为了，如: DSP芯片中高速处理的，大都是经过采样的离散数字信号。

 二、其表达式也更优雅了。如下：

由于实际工程应用，大都是因果系统，故多用单边计算。

此外，S域到Z域的映射，也需要想象力: Z变换是拉式变换的离散形态。Z最终形态可化为A*e^(-jφ)，其中φ=ω*T，于是s平面中的实轴，映射到Z平面，就是单位圆。

也就是说，傅里叶变换不仅是S变换的实轴切片，它也是Z变换上的单位圆切片。

啰嗦了这么多，Roy正要上干货时，回头一看，已经码出三千多字了。看来只用一篇文章，铁定是讲不完了。

有了这期的基础，咱下期的干货输出，会更纯粹: 如何手撕零极点图。 

提醒

一、本文只为工程应用/分析，是从工具角度出发，剖析并不深入。

二、Roy已不是专业研发，理解上难免有瑕疵，如有表述不当之处，请给我私信/留言。

三、现有的很多软件工具，可直接做系统设计/仿真。这固然好，但咱也要警惕：太依赖工具软件，可能会让我们理解不够深入，很难对系统做深度思考。

End

Roy个人观点，仅供参考。 

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