汇总版在这篇文章：自动控制原理上课笔记

根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从0变到 ∞ \infty ∞ 时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。

根轨迹的分类：180度根轨迹 、参数根轨迹、零度根轨迹、根轨迹簇。

当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点。

从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。

因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。

根轨迹法应用前提条件是受控系统的传递函数没有零极点相消。

根轨迹是系统所有闭环极点的集合： 根轨迹方程  K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) = − 1 \text{根轨迹方程 }K^*\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}=-1 根轨迹方程 K∗∏i=1n​(s−pi​)∏j=1m​(s−zj​)​=−1 模值条件： K ∗ = ∏ i = 1 n ∣ s − p i ∣ ∏ j = 1 m ∣ s − z j ∣ K^*=\frac{\prod_{i=1}^{n}|s-p_i|}{\prod_{j=1}^{m}|s-z_j|} K∗=∏j=1m​∣s−zj​∣∏i=1n​∣s−pi​∣​ 相角条件：180度相角差

性质

分离点

对于特定 K ∗ K^* K∗ 值下的闭环极点，可用模值条件确定。

在控制系统中，除根轨迹增益 K ∗ K^* K∗ 以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。包括：

通常，将负反馈系统中 K ∗ K^* K∗ 由零变到无穷大时的根轨迹叫做常规根轨迹（或180度根轨迹）。

以非开环增益/根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益 K K K /根轨迹增益 K ∗ K^* K∗ 为可变参数的常规根轨迹。

一般说来，零度根轨迹的来源有两个方面：

如果系统的所有开环极点和零点都位于s平面的左半平面，则称为最小相位系统。

若系统的开环传递函数在右半 s 平面有零点或极点，则该系统称为非最小相位系统：

闭环零点对系统动态性能的影响，相当于减小闭环系统的阻尼，从而使系统的过渡过程有出现超调的趋势，并且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的程度而加强。

在开环系统中增加极点，会使根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调节时间。

如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零、极点常称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，而复数偶极子必共轭出现。不难看出，只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微，从而可以忽略它们的存在。

闭环零点的存在，将使系统的峰值时间提前，这相当于减小闭环系统的阻尼，从而使超调量加大，当闭环零点接近坐标原点时，这种作用尤甚。

一般说来，闭环零点对调节时间的影响是不定的。

闭环实数主导极点对系统性能的影响是：闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，使峰值时间迟后，超调量下降。

如果实数极点比共轭复数极点更接近坐标原点，甚至可以使振荡过程变为非振荡过程。