同济教材某习题命题

若 f ( t ) f(t) f(t) 是连续函数且为奇函数，证明 ∫ 0 x f ( t ) d t \int_{0}^{x} f(t) d t ∫0x​f(t)dt 是偶函数；

若 f ( t ) f(t) f(t) 是连续函数且为偶函数，证明 ∫ 0 x f ( t ) d t \int_{0}^{x} f(t) d t ∫0x​f(t)dt 是奇函数。

证明如下：

由微积分基本定理， F ( x ) A l l = ∫ 0 x f ( t ) d t + C F(x)_{All}=\int_{0}^{x}f(t)dt+C F(x)All​=∫0x​f(t)dt+C ， ∫ 0 x f ( t ) d t \int_{0}^{x}f(t)dt ∫0x​f(t)dt 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数，

当 f ( x ) f(x) f(x) 是奇函数时， ∫ 0 x f ( t ) d t \int_{0}^{x}f(t)dt ∫0x​f(t)dt 是偶函数；

当 f ( x ) f(x) f(x) 是偶函数时， ∫ 0 x f ( t ) d t \int_{0}^{x}f(t)dt ∫0x​f(t)dt 是奇函数。

根据奇偶运算法则：偶＋偶＝偶，非0奇＋非0偶＝非奇非偶。

命题 JO-Y 得证。