在第二章第四节中，我们已经介绍了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 求它所确定的隐函数的导数的方法。现在，我们将介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出隐函数的导数公式。

设函数 𝐹(𝑥,𝑦)F(x,y) 在点 𝑃(𝑥0,𝑦0)P(x0​,y0​) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 𝐹(𝑥0,𝑦0)=0F(x0​,y0​)=0，𝐹𝑦(𝑥0,𝑦0)≠0Fy​(x0​,y0​)=0，则方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x)，它满足条件 𝑦0=𝑓(𝑥0)y0​=f(x0​)，并有： 𝑑𝑦𝑑𝑥=−𝐹𝑥(𝑥,𝑦)𝐹𝑦(𝑥,𝑦)dxdy​=−Fy​(x,y)Fx​(x,y)​ (公式 5-2)

公式 (5-2) 就是隐函数的求导公式。

将方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 所确定的函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x) 代入 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0，得恒等式： 𝐹(𝑥,𝑓(𝑥))=0F(x,f(x))=0

其左端可以看做是 𝑥x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得： 𝐹𝑥+𝐹𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥=0Fx​+Fy​dxdy​=0

因为 𝐹𝑦Fy​ 连续，且 𝐹𝑦(𝑥0,𝑦0)≠0Fy​(x0​,y0​)=0，所以存在 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的一个邻域，在这个邻域内 𝐹𝑦≠0Fy​=0，于是得： 𝑑𝑦𝑑𝑥=−𝐹𝑥𝐹𝑦dxdy​=−Fy​Fx​​

如果 𝐹(𝑥,𝑦)F(x,y) 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式 (5-2) 的两端看做 𝑥x 的复合函数而再一次求导，即得： 𝑑2𝑦𝑑𝑥2=𝑑𝑑𝑥(−𝐹𝑥𝐹𝑦)=−𝐹𝑥𝑥𝐹𝑦+𝐹𝑥𝐹𝑥𝑦𝐹𝑦2=−𝐹𝑥𝑥𝐹𝑦+𝐹𝑥𝐹𝑥𝑦𝐹𝑦2dx2d2y​=dxd​(−Fy​Fx​​)=Fy2​−Fxx​Fy​+Fx​Fxy​​=Fy2​−Fxx​Fy​+Fx​Fxy​​ =𝐹𝑥𝑥𝐹𝑦2−2𝐹𝑥𝐹𝑥𝑦𝐹𝑦+𝐹𝑥2𝐹𝑦𝑦𝐹𝑦3=Fy3​Fxx​Fy2​−2Fx​Fxy​Fy​+Fx2​Fyy​​

验证方程 𝑥2+𝑦2−1=0x2+y2−1=0 在点 (0,1)(0,1) 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x)，并求该函数的一阶与二阶导数在 𝑥=0x=0 时的值。

解：设 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2−1F(x,y)=x2+y2−1，则 𝐹𝑥=2𝑥Fx​=2x，𝐹𝑦=2𝑦Fy​=2y，且 𝐹(0,1)=0F(0,1)=0，𝐹𝑦(0,1)=2≠0Fy​(0,1)=2=0。因此，由定理1可知，方程 𝑥2+𝑦2−1=0x2+y2−1=0 在点 (0,1)(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个有连续导数的函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x)。

下面求该函数的一阶及二阶导数： 𝑑𝑦𝑑𝑥=−𝐹𝑥𝐹𝑦=−2𝑥2𝑦=−𝑥𝑦dxdy​=−Fy​Fx​​=−2y2x​=−yx​ 当 𝑥=0x=0，𝑦=1y=1 时，有： 𝑑𝑦𝑑𝑥∣𝑥=0=0dxdy​∣∣​x=0​=0

再求二阶导数： 𝑑2𝑦𝑑𝑥2=𝑑𝑑𝑥(−𝑥𝑦)=−𝑦−𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥𝑦2dx2d2y​=dxd​(−yx​)=−y2y−xdxdy​​ 当 𝑥=0x=0，𝑦=1y=1 时，有： 𝑑2𝑦𝑑𝑥2∣𝑥=0=−1dx2d2y​∣∣​x=0​=−1

隐函数存在定理还可以推广到多元函数。既然一个二元方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程： 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=0F(x,y,z)=0 就有可能确定一个二元隐函数。

设函数 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)F(x,y,z) 在点 𝑃(𝑥0,𝑦0,𝑧0)P(x0​,y0​,z0​) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 𝐹(𝑥0,𝑦0,𝑧0)=0F(x0​,y0​,z0​)=0，𝐹𝑧(𝑥0,𝑦0,𝑧0)≠0Fz​(x0​,y0​,z0​)=0，则方程 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=0F(x,y,z)=0 在点 (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0​,y0​,z0​) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y)，它满足条件 𝑧0=𝑓(𝑥0,𝑦0)z0​=f(x0​,y0​)，并有： ∂𝑧∂𝑥=−𝐹𝑥𝐹𝑧,∂𝑧∂𝑦=−𝐹𝑦𝐹𝑧∂x∂z​=−Fz​Fx​​,∂y∂z​=−Fz​Fy​​ (公式 5-4)

由于 𝐹(𝑥,𝑦,𝑓(𝑥,𝑦))=0F(x,y,f(x,y))=0，将上式两端分别对 𝑥x 和 𝑦y 求导，应用复合函数求导法则得： 𝐹𝑥+𝐹𝑧∂𝑧∂𝑥=0Fx​+Fz​∂x∂z​=0 𝐹𝑦+𝐹𝑧∂𝑧∂𝑦=0Fy​+Fz​∂y∂z​=0

因为 𝐹𝑧Fz​ 连续，且 𝐹𝑧(𝑥0,𝑦0,𝑧0)≠0Fz​(x0​,y0​,z0​)=0，所以存在点 (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0​,y0​,z0​) 的一个邻域，在这个邻域内 𝐹𝑧≠0Fz​=0，于是得： ∂𝑧∂𝑥=−𝐹𝑥𝐹𝑧,∂𝑧∂𝑦=−𝐹𝑦𝐹𝑧∂x∂z​=−Fz​Fx​​,∂y∂z​=−Fz​Fy​​

设 𝑥2+𝑦2+𝑧2−4𝑧=0x2+y2+z2−4z=0，求 ∂𝑧∂𝑥∂x∂z​ 和 ∂𝑧∂𝑦∂y∂z​。

解：设 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥2+𝑦2+𝑧2−4𝑧F(x,y,z)=x2+y2+z2−4z，则 𝐹𝑥=2𝑥Fx​=2x，𝐹𝑦=2𝑦Fy​=2y，𝐹𝑧=2𝑧−4Fz​=2z−4。当 𝑧≠2z=2 时，应用公式 (5-4)，得： ∂𝑧∂𝑥=−2𝑥2𝑧−4=−𝑥𝑧−2∂x∂z​=−2z−42x​=−z−2x​ ∂𝑧∂𝑦=−2𝑦2𝑧−4=−𝑦𝑧−2∂y∂z​=−2z−42y​=−z−2y​

再一次对 𝑥x 求偏导数，得： ∂2𝑧∂𝑥2=𝑑𝑑𝑥(−𝑥𝑧−2)=−1⋅(𝑧−2)−𝑥⋅∂𝑧∂𝑥(𝑧−2)2=−𝑧−2+𝑥⋅𝑥𝑧−2(𝑧−2)2=−𝑧−2+𝑥2𝑧−2(𝑧−2)2=−𝑧−2+𝑥2𝑧−2(𝑧−2)2∂x2∂2z​=dxd​(−z−2x​)=−(z−2)21⋅(z−2)−x⋅∂x∂z​​=−(z−2)2z−2+x⋅z−2x​​=−(z−2)2z−2+z−2x2​​=−(z−2)2z−2+z−2x2​​ =−(𝑧−2)2+𝑥2(𝑧−2)3=−𝑧2−4𝑧+4+𝑥2(𝑧−2)3=−(z−2)3(z−2)2+x2​=−(z−2)3z2−4z+4+x2​

隐函数的求导公式在多元函数微分学中具有重要意义。通过隐函数存在定理，我们可以确定隐函数的存在性，并利用多元复合函数的求导法则求出隐函数的导数。这对于处理复杂的多元函数问题非常有帮助。