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反函数
反函数反过来做! 先看一个例子: 我们将函数 f(x) = 2x+3 写成流程图: 反函数就是把流程反过来: 所以: 2x+3 的反函数是: (y-3)/2
反函数通常是在函数名字后面加一个上标 "-1": f-1(y) 我们说 "f y 的反函数" 所以 f(x) = 2x+3 的反函数是这样写: f-1(y) = (y-3)/2 (我用 y,而不用 x,因为它们代表不同的值。) 还原反函数把函数还原: 如果函数 f 把苹果变成香蕉, 反函数 f-1 把香蕉还原为苹果 例子:用上面的公式,开始时 x=4: f(4) = 2×4+3 = 11 然后把 11 代入反函数的公式里: f-1(11) = (11-3)/2 = 4 得回原来的 4! 我们可以写成一行: f-1( f(4) ) = 4 "f 反函数 的 f 的 4 等于 4" 所以把一个数值代入一个函数 f,然后把结果代入其反函数 f-1,就会得到原来的数值: f-1( f(x) ) = x 把函数的次序倒转也是一样: f( f-1(x) ) = x 例子:开始: f-1(11) = (11-3)/2 = 4 然后: f(4) = 2×4+3 = 11 所以: f( f-1(11) ) = 11 "f 的 f 反函数的 11 等于 11" 用代数来解我们可以用代数来求反函数。用 "y" 代替 "f(x)",然后解 x: 函数: f(x) = 2x+3 用 "y" 代替 "f(x)": y = 2x+3 每边减 3: y-3 = 2x 每边除 2: (y-3)/2 = x 换边: x = (y-3)/2 结果 (用 "f-1(y)" 来代替 "x"): f-1(y) = (y-3)/2这是计算比较复杂的反函数的好方法。 把华氏转换为摄氏一个好例子是华氏与摄氏相互转换: 将华氏转换为摄氏: f(F) = (F - 32) × 59 反函数(将摄氏转换为华氏)是: f-1(C) = (C × 95) + 32轮到你了:解反函数! 常见函数的反函数上面的例子都很简单,因为我们都知道乘法的相反是除法,加法的相反是减法,但其他函数呢? 这是一个列表: 反函数 小心! 不要除以零 x 和 y 不能是零 x 和 y ≥ 0 or n 不等于零 (n 为奇数、偶数、负数和正数都有不同的规则) y > 0 y 和 a > 0 -π/2 to +π/2 0 to π -π/2 to +π/2(注意:去阅读反正弦、余弦和正切了解更多。) 小心!留意 "小心!" 列,因为有些反函数只适用于某些数值。 例子:平方与平方根取负数的平方,然后取反函数: 平方: (-2)2 = 4 反函数(平方根): √(4) = 2
但我们得不到原来的数!结果是 2而不是 -2。我们不小心了! 平方函数(在现在情况下)没有反函数 但是,我们可以补救!限制定义域(函数的输入)。 例子:(续)不用负数作为输入。 就是说,把定义域限制为 x ≥ 0 就可以有反函数了。 所以: x2 没有反函数 但{x2 | x ≥ 0 }(这是合建构式符号,意思是 "x 平方,满足 x 大于或等于零这个性质")有反函数。 没有反函数?我们来看这个图: 要有反函数,函数的值必然需要是唯一值。 如果一个 y值有两个或更多 x值,还原时应该选哪个呢? 一般函数 单射函数 没有反函数 能有反函数 如果一个 y值有多于一个 x值,还原时应该选哪个呢? 如果每个 x值的 y值是唯一的(没有其它 x值有这个 y值),从 y 还原到 x 就只有一个选择。"每个 x值的 y值是唯一的" 这个概念有个名字,叫 "单射",也称 "一对一": 如果一个函数是"一对一"(单射)的,它就有反函数。 定义域与值域我们为什么要 "限制定义域"? 简单地说,定义域是所有输入函数的值(值域的所有输出值)。 在现在情况下,上面的函数没有反函数,因为有些 y值有多于一个 x值。 但我们可以限制定义域,使得每个 y值只有一个唯一的 x值 …… …… 这样函数就可以有反函数了:注意: 函数 f(x) 从定义域映入到值域, 反函数 f-1(y) 从值域映入到定义域。…… 我们也可以…… 我们可以把函数和反函数都写成 x 的函数 …… 反函数就写成 f-1(x),而不是 f-1(y): f(x) 和 f-1(x) 像彼此的镜像 (相对于对角线反转)。 换句话说: f(x) 和 f-1(x) 的图是相对于直线 y=x 对称的 例子:平方和平方根(续) 我们首先把定义域限制为 x ≥ 0: {x2 | x ≥ 0 } "x 的平方,满足 x 大于或等于零的性质" {√x | x ≥ 0 } "x 的平方根,满足 x 大于或等于零的性质"
可以看到它们是彼此的"镜像", 相对于对角线 y=x.
注意:把定义域限制为 x ≤ 0(小于或等于 0),反函数就是 f-1(x) = −√x: {x2 | x ≤ 0 } {−√x | x ≥ 0 }也是反函数. 不一定有解的!有时不可能解反函数。 例子:f(x) = x/2 + sin(x) 我们不能解反函数,因为我们不能解 "x": y = x/2 + sin(x) y …… ? = x 记法备注我们这样写 f-1(x),但上标 "-1" 不是个指数(次方): f-1(x) …… 和 …… f(x)-1 是不同的 函数 f 的反函数 f(x)-1 = 1/f(x) (倒数) 总括 f(x) 的反函数是 f-1(y) 我们可以把 "流程图" 倒转来求反函数 或者用代数来解反函数: 用 "y" 来代替 "f(x)",然后 解 x 我们可能需要限制定义域才能使得函数有反函数 函数是什么?集合 |
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