设矩阵 A = ( a i j ) n × n A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} A=(aij​)n×n​, 将矩阵 A A A 的元素 a i j a_{i j} aij​ 所在的第行第 j j j 列元素划去后, 剩余的各元素按原来的排列顾序组成的 n − 1 n-1 n−1 阶矩阵所确定的行列式称为 a i j a_{i j} aij​ 的余子式，记为 M i j M_{i j} Mij​ ，称 A i j = ( − 1 ) i − j M i j A_{i j}=(-1)^{i-j} M_{i j} Aij​=(−1)i−jMij​ 为 a i j a_{i j} aij​ 的代数余子式。 矩阵 A = ( a i j ) n × n A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} A=(aij​)n×n​ 的代数余子式 A i j A_{i j} Aij​ 所构成的如下矩阵 A ∗ A^{*} A∗ : A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array} A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​ 该矩阵 A ∗ A^{*} A∗ 称为矩阵 A A A 的伴随矩阵

例1：求矩阵A的伴随矩阵，其中矩阵A的行列式

A n ∗ n = ∣ 1 2 − 1 3 1 0 − 1 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{n * n}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 3 &1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 \end{array}\right| An∗n​= ​13−1​21−1​−10−2​ ​

求解余子式

解：

A 11 \mathbf{A}_{11} A11​的余子式： A 11 = ∣ 1 0 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{11}=\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{array}\right| A11​= ​1−1​0−2​ ​ A 11 \mathbf{A}_{11} A11​代数余子式： A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 ∗ ( − 2 ) − 0 ∗ ( − 1 ) ∣ = − 2 \mathbf{A}_{11}=(-1)^{1+1}|1 *(-2)-0 *(-1)|=-2 A11​=(−1)1+1∣1∗(−2)−0∗(−1)∣=−2

剩下的代数余子式：

A 11 = − 2 , A 12 = 6 , A 13 = − 2 A 21 = 5 , A 22 = − 3 , A 23 = − 1 A 31 = 1 , A 12 = − 3 , A 13 = − 5 \begin{aligned} &A_{11}=-2, A_{12}=6, A_{13}=-2 \\ &A_{21}=5, A_{22}=-3, A_{23}=-1 \\ &A_{31}=1, A_{12}=-3, A_{13}=-5 \end{aligned} ​A11​=−2,A12​=6,A13​=−2A21​=5,A22​=−3,A23​=−1A31​=1,A12​=−3,A13​=−5​

A的伴随矩阵A* ：

[ − 2 5 1 6 − 3 − 3 − 2 − 1 − 5 ] \left[\begin{array}{ccc} -2 & 5 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -1 & -5 \end{array}\right] ​−26−2​5−3−1​1−3−5​ ​