设 ( X , ( ⋅ , ⋅ ) ) (X,(\cdot,\cdot)) (X,(⋅,⋅)) 是 K = R    o r    K = C \mathbb{ K=R ~~ or~~ K=C} K=R  or  K=C 上的内积空间，用X’表示其对偶空间，任意给定向量 y ∈ X y\in X y∈X ,定义线性泛函 l y : X → K l_y:X\to\mathbb K ly​:X→K 为 l y ( x ) : = ( x , y ) ∈ K , ∀ x ∈ X l_y(x):=(x,y)\in\mathbb{K},\forall x\in X ly​(x):=(x,y)∈K,∀x∈X 是连续的且有 ∣ ∣ l y ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ y ∣ ∣ ||l_y||_{X'}=||y|| ∣∣ly​∣∣X′​=∣∣y∣∣ (由直和定理有，在X为Hilbert空间时，其逆定理也成立。)

Hilbert空间的F.Riesz表示定理： 设 ( X , ( ⋅ , ⋅ ) ) (X,(\cdot,\cdot)) (X,(⋅,⋅)) 是 K = R    o r    K = C \mathbb{ K=R ~~ or~~ K=C} K=R  or  K=C 上的Hilbert空间，对任意给定的连续线性泛函 l ∈ X ∗ l\in X^* l∈X∗ 存在唯一的向量 y l ∈ X y_l \in X yl​∈X 使得对所有的 x ∈ X x\in X x∈X 有 l ( x ) = ( x , y l ) , ∣ ∣ l ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ y l ∣ ∣ X l(x) = (x,y_l),||l||_{X'}=||y_l||_X l(x)=(x,yl​),∣∣l∣∣X′​=∣∣yl​∣∣X​

Hilbert空间的Hanh-Banach定理： 设 X 为 K = R    o r    K = C \mathbb{ K=R ~~ or~~ K=C} K=R  or  K=C 上的Hilbert空间，Y是X的子空间， l : Y → K l:Y\to\mathbb{K} l:Y→K 是Y上的连续线性型，则存在连续线性型 l ~ : X → K \tilde{l}:X\to\mathbb{K} l~:X→K (这就是一个延拓)满足对所有的 y ∈ Y y\in Y y∈Y 有 l ~ ( y ) = l ( y ) , ∣ ∣ l ~ ( y ) ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ l ( y ) ∣ ∣ Y ′ \tilde{l}(y) = l(y),||\tilde{l}(y)||_{X'} = ||l(y)||_{Y'} l~(y)=l(y),∣∣l~(y)∣∣X′​=∣∣l(y)∣∣Y′​ 而且这样的延拓是唯一的。

设 ( X , ( ⋅ , ⋅ ) X ) , ( Y , ( ⋅ , ⋅ ) Y ) (X,(\cdot,\cdot)_X) , (Y,(\cdot,\cdot)_Y) (X,(⋅,⋅)X​),(Y,(⋅,⋅)Y​) 为两个复Hilbert空间，给定算子 A ∈ L ( X ; Y ) A\in\mathcal{L}(X;Y) A∈L(X;Y)

证明：

线性算子 A ∗ A^* A∗ 连续，对任何 y ∈ Y y\in Y y∈Y 有 ∣ ∣ A ∗ y ∣ ∣ 2 = ( A ∗ y , A ∗ y ) X = ( A A ∗ y , y ) Y ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣   ∣ ∣ A ∗ y ∣ ∣   ∣ ∣ y ∣ ∣ ||A^*y||^2 = (A^*y,A^*y)_X = (AA^*y,y)_Y\le ||A||~||A^*y||~||y|| ∣∣A∗y∣∣2=(A∗y,A∗y)X​=(AA∗y,y)Y​≤∣∣A∣∣ ∣∣A∗y∣∣ ∣∣y∣∣ 所以有 ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣   ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣   ∣ ∣ y ∣ ∣   ∣ ∣ y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣   ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣   ∣ ∣ y ∣ ∣   ∣ ∣ y ∣ ∣ ||A^*||~||A^*||~||y||~||y||\le ||A||~||A^*||~||y||~||y|| ∣∣A∗∣∣ ∣∣A∗∣∣ ∣∣y∣∣ ∣∣y∣∣≤∣∣A∣∣ ∣∣A∗∣∣ ∣∣y∣∣ ∣∣y∣∣ 因此有 ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ L ( Y ; X ) = s u p x ≠ 0 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ L ( X ; Y ) ||A^*||_{\mathcal{L}(Y;X)} = \mathop{sup}\limits_{x\not ={0}} \frac{||Ax||}{||y||}\le ||A||_{\mathcal{L}(X;Y)} ∣∣A∗∣∣L(Y;X)​=x​=0sup​∣∣y∣∣∣∣Ax∣∣​≤∣∣A∣∣L(X;Y)​

同理 ∀ x ∈ X , ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣   ∣ ∣ A x ∣ ∣   ∣ ∣ x ∣ ∣ \forall x\in X,||Ax||^2 \le ||A^*||~||Ax||~||x|| ∀x∈X,∣∣Ax∣∣2≤∣∣A∗∣∣ ∣∣Ax∣∣ ∣∣x∣∣ 有 ∣ ∣ A ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ||A||\le||A^*|| ∣∣A∣∣≤∣∣A∗∣∣

夹逼定理嘛，他俩就相等了。

( I m   A ‾ ) ⊥ = I m   A ⊥ (\overline{Im~A})^{\perp} = Im~A^\perp (Im A)⊥=Im A⊥

其他类似可得。

设 A A A 非空集合， ( X , ( ⋅ , ⋅ ) ) (X,(\cdot,\cdot)) (X,(⋅,⋅)) 为 K = R    o r    K = C \mathbb{ K=R ~~ or~~ K=C} K=R  or  K=C 上的Hilbert空间， 其元素为 x : A → K x:A\to \mathbb K x:A→K 设对每个 a ∈ A , ∃ C ( a ) → 0 a\in A,\exists C(a)\to 0 a∈A,∃C(a)→0 使得对任何的 x ∈ X x\in X x∈X ,有 ∣ x ( a ) ∣ ≤ C ( a ) ∣ ∣ x ∣ ∣ |x(a)|\le C(a)||x|| ∣x(a)∣≤C(a)∣∣x∣∣ 则存在函数 K : A × A → K K:A\times A\to\mathbb{K} K:A×A→K ，即为X的再生核，使得对每个 a ∈ A a\in A a∈A ，函数 K ( ⋅ , a ) : A → K K(\cdot,a):A\to K K(⋅,a):A→K 是空间X的元素，对任何 x ∈ X x\in X x∈X ，有 x ( a ) = ( x , K ( ⋅ , a ) ) x(a) = (x,K(\cdot,a)) x(a)=(x,K(⋅,a))

由F.Riesz定理易得该结论。

这个再生核还有再生核希尔伯特空间都蛮常用的，不过这里只是简单的给出了定义，以后再来仔细研究。