【高数】第二类换元积分法 |
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引例:
不定积分常用公式证明 例1: 例2: 为何例1中 t 的范围为(-pi/2,pi/2?例2中 t 的范围为(0.pi/2) 和 (pi,3*pi/2)? 这么做出于什么原因,有什么目的? 原理: ①第二类换元积分法使用条件下文均称换元后的函数为 “换元函数” 换元函数需连续,其导函数恒不等于0(否则说明换元函数为常数a,其反函数为x=a,即此时换元函数的反函数导数不存在) 总的来说:👉换元函数有可导的反函数 引例中的各区间满足换元函数单调,x与y是一 一对应的关系,反函数存在,且换元函数导函数连续、不为0,反函数可导。 更多内容: 反函数的导数证明:(看看其前提、条件) 第二类换元积分法证明:(看看其前提、条件) 有些区间也满足换元函数导函数连续且不为0,但不能完全覆盖原来x的取值范围 举个栗子:例1 t 只取(0,pi/2) 例2 t 只取(0,pi/2) ③换元的目的:简便积分求解同时有些区间既满足换元函数有可导的反函数,又满足覆盖原来x的取值范围,但会带来绝对值正负的讨论,如: 例1中 t 取(0,pi/2)U(pi/2,pi),(sect)^2开根后带绝对值 例2中 t 取(0,pi), (tant)^2开根后带绝对值 基于简便的原则,合理取定取值范围能最便捷地求解积分。 结语:学好数学能摸猫猫? (学数学提高逻辑思维能力与行动力,所以能摸猫猫(x)) |
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