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1.7、坐标系与参数方程
一、坐标系
1、直角坐标系
建立坐标系必须满足的条件
任意一点都有确定的坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置。
数轴（直线坐标系）
在直线上确定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位。点O，长度单位和选定的方向三者构成了直线上的坐标，简称数轴。
平面直角坐标系
在平面上取两条相互垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点，再取一个长度单位，如此取定的两条相互垂直的且有方向的直线，和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记作xOy
空间直角坐标系
过空间一个顶点O，作三条相互垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系。点O成为坐标原点，三条数轴分别称为x轴，y轴，z轴
坐标系的作用
①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物
②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）
③课通过数形结合，用代数的方法解决几何问题
2、平面上的伸缩变换
设点p（x，y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，p（x，y）对应点 ( ),称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
3、极坐标系
极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，从O引一条射线OX，设定一个单位长度以计算这角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线OX叫做极轴。
极坐标系的四要素：极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向。极坐标系的四要素，缺一不可。
点的极坐标
设M点是平面内任意一点，有ρ表示线段OM的长度，θ表示射线OX到OM的角度，有序数对（ρ，θ）叫做M点的极坐标。
4、极坐标和直角坐标的互化
互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位
互化公式
5、曲线的极坐标方程
一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f（ρ，θ）=0；反之，极坐标适合方程f（ρ，θ）=0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标的曲线。
6、直线的极坐标方程
过极点且与极轴称α角的直线方程θ = α
过点( )，且平行于极轴的直线方程时ρsinθ = a
过点（a,0）,且垂直于极轴的直线方程时ρcosθ = a
倾斜角为α，且极点到直线的距离是d的方程。若直线与极轴相交，则ρsin（θ-α）= d；若直线与极轴的反向延长线相交，ρsin(θ-α)=d
过定点（ ）,且倾斜角为α的直线方程时ρsin(α-θ)= sin(α- )
定理：若极坐标方程f(ρ，θ) = 0表示的曲线过极点，则方程ρ.f(ρ，θ) = 0与f(ρ，θ)等价。
7、圆的极坐标方程
圆心在（）半径为r，则圆的方程为 -2ρcos(θ-)+- = 0，这是圆在极坐标下的一般方程。
过极点且半径为r的圆方程
①若圆心是(r,),则方程为ρ=2rcos（θ-）
②若圆心是(r,0),则方程为ρ=2rcos（θ）
③若圆心是（r，π），则方程为ρ = -2rcosθ
④若圆心是（r， ），则方程为则方程为ρ = 2rsinθ
⑤若圆心是（r， ），则方程为则方程为ρ = -2rsinθ
以极点为圆心，半径为r的圆的方程时ρ=r
8、极坐标系及其与直角坐标的转化
柱坐标系
设p是空间任意一点，在xoy平面的投影点为Q，用(ρ，θ)（ρ≥0,0≤θ≤2π）表示点Q在平面xoy上的极坐标，点p的位置可用有序数组（ρ，θ，z）表示，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ，θ，z）叫点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z),其中ρ≥0,0≤θ |