模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。

现实的数学模型可以分为三大类：

被讨论的对象全体称论域，用 U , V U,V U,V 等表示。

对于论域 U U U 的每个元素和某一子集 A A A，在经典数学中，要么 x ∈ A x\in A x∈A，要么 x ∉ A x\notin A x∈/​A。

在模糊数学中，称没有明确边界的集合为模糊集合，元素属于模糊集合的程度用隶属度表示，计算隶属度的函数称隶属函数。

论域 U U U 到 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 闭区间上的任意映射 M : U → [ 0 , 1 ] , u → M ( u ) , M:U\to[0,1],u\to M(u), M:U→[0,1],u→M(u), 都确定了 U U U 上的一个模糊集合， M ( u ) M(u) M(u) 称隶属函数，记 M = { ( u , M ( u ) ∣ u ∈ U } M=\{(u,M(u)|u\in U\} M={(u,M(u)∣u∈U}，使得 M ( u ) = 0.5 M(u)=0.5 M(u)=0.5 的点称过渡点，最具模糊性。

指派法是一种主观方法，依据人们的实践经验确定隶属函数。一些常用分布如：

矩阵型 M ( x ) = { 1 , a ≤ x ≤ b , 0 , x < a   o r   x > b . M(x)=\left\{\begin{aligned} &1,a\le x\le b,\\ &0,xb. \end{aligned}\right. M(x)={​1,a≤x≤b,0,xb.​

梯形型 M ( x ) = { x − a b − a , a ≤ x ≤ b , 1 , b < x ≤ c , d − x d − c , c < x ≤ d , 0 , x < a   o r   x > d . M(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{x-a}{b-a},a\le x\le b,\\ &1,by1​,y2​,…,yn​}， R R R 为从 U U U 到 V V V​ 的模糊关系，隶属函数为 μ R ( x , y ) \mu_R(x,y) μR​(x,y)，对任意 ( x i , y j ) ∈ U × V (x_i,y_j)\in U\times V (xi​,yj​)∈U×V，有 μ R ( x i , y j ) = r i j ∈ [ 0 , 1 ] , \mu_R(x_i,y_j)=r_{ij}\in[0,1], μR​(xi​,yj​)=rij​∈[0,1], 记 R = ( r i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times n} R=(rij​)m×n​ 为模糊矩阵。

设 A i ∈ F ( U ) , i = 1 , 2 , … , n A_i\in F(U),i=1,2,\dots,n Ai​∈F(U),i=1,2,…,n，对 u 0 ∈ U u_0\in U u0​∈U，若存在 i 0 i_0 i0​，使 A i 0 ( u 0 ) = max ⁡ { A 1 ( u 0 ) , A 2 ( u 0 ) , … , A n ( u 0 ) } , A_{i0}(u_0)=\max\{A_1(u_0),A_2(u_0),\dots,A_n(u_0)\}, Ai0​(u0​)=max{A1​(u0​),A2​(u0​),…,An​(u0​)}, 则认为 u 0 u_0 u0​ 相对隶属于 A i A_i Ai​。

考虑人的年龄问题，分年轻、中年、老年三类，对应三个模糊集 A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A1​,A2​,A3​，设论域 U = ( 0 , 100 ] U=(0,100] U=(0,100]，且对 x ∈ ( 0 , 100 ] x\in(0,100] x∈(0,100] 有 A 1 ( x ) = { 1 , 0 < x ≤ 20 , 1 − 2 ( x − 20 20 ) 2 , 20 < x ≤ 30 , 2 ( x − 40 20 ) 2 , 30 < x ≤ 40 , 0 , 40 < x ≤ 100. A_1(x)=\left\{\begin{aligned} &1,0u1​,u2​,…,un​}，则 N ( A , B ) Δ = 1 − 1 n ∑ i = 1 n ∣ A ( u i ) − B ( u i ) ∣ , N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|, N(A,B)=Δ​1−n1​i=1∑n​∣A(ui​)−B(ui​)∣, 若 U = [ a , b ] U=[a,b] U=[a,b]​，则 N ( A , B ) Δ = 1 − 1 b − a ∫ a b ∣ A ( u ) − B ( u ) ∣ d u . N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{b-a}\int_a^b|A(u)-B(u)|du. N(A,B)=Δ​1−b−a1​∫ab​∣A(u)−B(u)∣du.

若 U = { u 1 , u 2 , … , u n } U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\} U={u1​,u2​,…,un​}，则 N ( A , B ) Δ = 1 − 1 n ( ∑ i = 1 n ∣ A ( u i ) − B ( u i ) ∣ ) 1 / 2 , N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum_{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|)^{1/2}, N(A,B)=Δ​1−n ​1​(i=1∑n​∣A(ui​)−B(ui​)∣)1/2, 若 U = [ a , b ] U=[a,b] U=[a,b]​，则 N ( A , B ) Δ = 1 − 1 b − a ( ∫ a b ∣ A ( u ) − B ( u ) ∣ d u ) 1 / 2 . N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{\sqrt{b-a}}(\int_a^b|A(u)-B(u)|du)^{1/2}. N(A,B)=Δ​1−b−a ​1​(∫ab​∣A(u)−B(u)∣du)1/2.

若 U = ( − ∞ , + ∞ ) U=(-\infty,+\infty) U=(−∞,+∞)，则 N 1 ( A , B ) Δ = ∫ − ∞ + ∞ ( A ( u ) ∧ B ( u ) ) d u ( A ( u ) ∨ B ( u ) ) d u , N_1(A,B)\underset{=}{\Delta}\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}(A(u)\wedge B(u))du}{(A(u)\vee B(u))du}, N1​(A,B)=Δ​(A(u)∨B(u))du∫−∞+∞​(A(u)∧B(u))du​,

N 2 ( A , B ) Δ = 2 ∫ − ∞ + ∞ ( A ( u ) ∧ B ( u ) ) d u ∫ − ∞ + ∞ A ( u ) d u + ∫ − ∞ + ∞ B ( u ) d u . N_2(A,B)\underset{=}{\Delta}\frac{2\int_{-\infty}^{+\infty}(A(u)\wedge B(u))du}{\int_{-\infty}^{+\infty}A(u)du+\int_{-\infty}^{+\infty}B(u)du}. N2​(A,B)=Δ​∫−∞+∞​A(u)du+∫−∞+∞​B(u)du2∫−∞+∞​(A(u)∧B(u))du​.

设集合 A 1 = ( 0.4 , 0.3 , 0.5 , 0.3 ) A_1=(0.4,0.3,0.5,0.3) A1​=(0.4,0.3,0.5,0.3)​, A 2 = ( 0.3 , 0.3 , 0.4 , 0.4 ) A_2=(0.3,0.3,0.4,0.4) A2​=(0.3,0.3,0.4,0.4)​, B = ( 0.2 , 0.3 , 0.4 ) , 0.3 B=(0.2,0.3,0.4),0.3 B=(0.2,0.3,0.4),0.3​，确定 B B B 属于哪一类。

由欧几里得贴近度有 N ( B , A 1 ) = 0.8882 , N ( B , A 2 ) = 0.9293 , N ( B , A 3 ) = 0.95 , N(B,A_1)=0.8882,N(B,A_2)=0.9293,N(B,A_3)=0.95, N(B,A1​)=0.8882,N(B,A2​)=0.9293,N(B,A3​)=0.95, 因此 B B B 属于 A 3 A_3 A3​ 类。

设全体为论域 U = { u 1 , u 2 , … , u n } U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\} U={u1​,u2​,…,un​}，对象 u i u_i ui​ 的特性由 m m m 个指标表示，记 a i = [ a i 1 , a i 2 , … , a i m ] a_i=[a_{i1},a_{i2},\dots,a_{im}] ai​=[ai1​,ai2​,…,aim​]，得 A = ( a i j ) n × m , A=(a_{ij})n\times m, A=(aij​)n×m, 如果需要，作标准化处理得 B = ( b i j ) n × m . B=(b_{ij})n\times m. B=(bij​)n×m. 计算 u i , u j u_i,u_j ui​,uj​ 的模糊相似系数，构造模糊相似矩阵 R = ( r i j ) n × n . R=(r_{ij})_{n\times n}. R=(rij​)n×n​. 计算模糊相似系数的方法有：

夹角余弦法 r i j = ∑ k = 1 m b i k b j k ∑ k = 1 m b i k 2 ∑ k = 1 m b j k 2 . r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^mb_{ik}b_{jk}}{\sqrt{\sum_{k=1}^mb_{ik}^2}\sqrt{\sum_{k=1}^mb_{jk}^2}}. rij​=∑k=1m​bik2​ ​∑k=1m​bjk2​ ​∑k=1m​bik​bjk​​.

相关系数法 r i j = ∑ k = 1 m ∣ b i k − b ‾ i ∣ ∣ b j k − b ‾ j ∣ ∑ k = 1 m ( b i k − b ‾ i ) 2 ∑ k = 1 m ( b j k − b ‾ j ) 2 . r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m|b_{ik}-\overline{b}_i||b_{jk}-\overline{b}_j|}{\sqrt{\sum_{k=1}^m(b_{ik}-\overline{b}_i)^2}\sqrt{\sum_{k=1}^m(b_{jk}-\overline{b}_j)^2}}. rij​=∑k=1m​(bik​−bi​)2 ​∑k=1m​(bjk​−bj​)2 ​∑k=1m​∣bik​−bi​∣∣bjk​−bj​∣​.

距离法 r i j = 1 − c ( d ( u i , u j ) ) α , r_{ij}=1-c(d(u_i,u_j))^\alpha, rij​=1−c(d(ui​,uj​))α, 选取适当 c , α c,\alpha c,α 使 0 ≤ r i j ≤ 1 0\le r_{ij}\le1 0≤rij​≤1​，并选取适当距离公式 d ( u i , u j ) d(u_i,u_j) d(ui​,uj​)。

最大最小法 r i j = ∑ k = 1 m min ⁡ ( b i k , b j k ) ∑ k = 1 m max ⁡ ( b i k , b j k ) r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\sum_{k=1}^m\max(b_{ik},b_{jk})} rij​=∑k=1m​max(bik​,bjk​)∑k=1m​min(bik​,bjk​)​

算术平均最小法 r i j = ∑ k = 1 m min ⁡ ( b i k , b j k ) 1 2 ∑ k = 1 m ( b i k + b j k ) r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\frac12\sum_{k=1}^m(b_{ik}+b_{jk})} rij​=21​∑k=1m​(bik​+bjk​)∑k=1m​min(bik​,bjk​)​

几何平均最小法 r i j = ∑ k = 1 m min ⁡ ( b i k , b j k ) ∑ k = 1 m b i k b j k r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\sum_{k=1}^m\sqrt{b_{ik}b_{jk}}} rij​=∑k=1m​bik​bjk​ ​∑k=1m​min(bik​,bjk​)​

构造得到的 R R R 一般只满足自反性和对称性，采用平方法求出 R R R 的传递闭包 t ( R ) t(R) t(R)。

对于矩阵 R n × n R_{n\times n} Rn×n​​，计算 R 2 = R ∘ R = ( r i j 2 ) R^2=R\circ R=(r_{ij}^2) R2=R∘R=(rij2​) 其中 r i j 2 = max ⁡ k { min ⁡ { r i k , r k j } } , r_{ij}^2=\max_k\{\min\{r_{ik},r_{kj}\}\}, rij2​=kmax​{min{rik​,rkj​}},

k = 1 , 2 , … , n . k=1,2,\dots,n. k=1,2,…,n.

迭代计算 R → R 2 → ⋯ → R 2 i → … R\to R^2\to\dots\to R^{2^i}\to\dots R→R2→⋯→R2i→…​​，

直到出现 R k ∘ R k = R k R_k\circ R_k=R_k Rk​∘Rk​=Rk​，即有 t ( R ) = R k t(R)=R^k t(R)=Rk。

对于 t ( R ) t(R) t(R)​​​ 的每个元素 t r i j tr_{ij} trij​​​，取不同阈值 λ \lambda λ​​ 时，若 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tr at position 1: \̲t̲r̲_{ij}\ge\lambda​，认为 u i , u j u_i,u_j ui​,uj​​ 属于一类，反之不属于一类，从而画出聚类图。

有五个类 I = ( 5 , 5 , 3 , 2 ) I=(5,5,3,2) I=(5,5,3,2)， I I = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) II=(2,3,4,5) II=(2,3,4,5)， I I I = ( 5 , 5 , 2 , 3 ) III=(5,5,2,3) III=(5,5,2,3)， I V = ( 1 , 5 , 3 , 1 ) IV=(1,5,3,1) IV=(1,5,3,1)， V = ( 2 , 4 , 5 , 1 ) V=(2,4,5,1) V=(2,4,5,1)。

使用距离法求相似系数 r i j = 1 − 0.1 ∑ k = 1 4 ∣ a i k − a j k ∣ , r_{ij}=1-0.1\sum_{k=1}^4|a_{ik}-a_{jk}|, rij​=1−0.1k=1∑4​∣aik​−ajk​∣, 得相似矩阵 R = ( 1 0.1 0.8 0.5 0.3 0.1 1 0.1 0.2 0.4 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6 0.3 0.4 0.1 0.6 1 ) , R=\begin{pmatrix} 1&0.1&0.8&0.5&0.3\\ 0.1&1&0.1&0.2&0.4\\ 0.8&0.1&1&0.3&0.1\\ 0.5&0.2&0.3&1&0.6\\ 0.3&0.4&0.1&0.6&1 \end{pmatrix}, R=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​10.10.80.50.3​0.110.10.20.4​0.80.110.30.1​0.50.20.310.6​0.30.40.10.61​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​, 平方法求传递闭包得 t ( R ) = ( 1 0.4 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4 0.8 0.4 1 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 1 ) t(R)=\begin{pmatrix} 1&0.4&0.8&0.5&0.5\\ 0.4&1&0.4&0.4&0.4\\ 0.8&0.4&1&0.5&0.5\\ 0.5&0.4&0.5&1&0.6\\ 0.5&0.4&0.5&0.6&1 \end{pmatrix} t(R)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​10.40.80.50.5​0.410.40.40.4​0.80.410.50.5​0.50.40.510.6​0.50.40.50.61​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ 于是有：

W ∘ R = ( a 1 , a 2 , … , a s ) = Δ A . W\circ R=(a_1,a_2,\dots,a_s)\overset{\Delta}{=}A. W∘R=(a1​,a2​,…,as​)=ΔA.

对于 ∘ \circ ∘ 算子，通常有以下 4 种：

M ( ∧ , ∨ ) M(\wedge,\vee) M(∧,∨) a k = max ⁡ j { min ⁡ ( w j , r j k ) } , a_k=\max_j\{\min(w_j,r_{jk})\}, ak​=jmax​{min(wj​,rjk​)},

M ( ⋅ , ∨ ) M(\cdot,\vee) M(⋅,∨) b k = max ⁡ j { w j ⋅ r j k } , b_k=\max_j\{w_j\cdot r_{jk}\}, bk​=jmax​{wj​⋅rjk​},

M ( ∧ , + ) M(\wedge,+) M(∧,+) b k = ∑ j min ⁡ ( w j , r j k ) , b_k=\sum_{j}\min(w_j,r_{jk}), bk​=j∑​min(wj​,rjk​),

M ( ⋅ , + ) M(\cdot,+) M(⋅,+) b k = s u m j = 1 p w j r j k . b_k=sum_{j=1}^pw_jr_{jk}. bk​=sumj=1p​wj​rjk​.

对模糊聚类中的例子求解并画聚类图，代码如下：

输出如下：