二次型是一种特殊的多项式，其中可以有n个变量，但是每项的次数必须为二（某两个变量的乘积），例如 x 2 + x y + x z + z 2 x^2+xy+xz+z^2 x2+xy+xz+z2

二次型可以表示为 f ( A ) = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) A ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T f(\mathbf A)=(x_1,x_2,...,x_n)\mathbf A(x_1,x_2,...,x_n)^T f(A)=(x1​,x2​,...,xn​)A(x1​,x2​,...,xn​)T 实对称矩阵 A \mathbf A A称为二次型的矩阵， R a n k ( A ) Rank(\mathbf A) Rank(A)称为二次型的秩

这样一来，我们就能利用线性代数解决n元2次多项式问题了，但是这里不能随意应用矩阵的各种变换，针对二次型的研究，还需要矩阵的合同变换

二次型的提出，是为了研究：几何图形在三维坐标系下二次曲线/二次曲面方程

这里直接给出结论：研究几何图形，只要研究这个二次函数的二次项就可以了

这里的合同，偏向于说几何图形的“根本特性”相同，例如圆和椭圆就是合同的，其二次型相同中的二次项相同，但是相较于不包含交叉项的函数图形，包含变量交叉项的函数的图形发生了旋转和伸缩变化，但我们仍可将其视为“取不同坐标系”时看到的同一个图形

称 A \mathbf A A和 B \mathbf B B为合同矩阵的条件：它们满足 B = P T A P \mathbf B= \mathbf P^T\mathbf A\mathbf P B=PTAP，且其中 P \mathbf P P为可逆矩阵（理解为：由自然基到非自然基的过渡矩阵，从而用于转换观察的坐标系）

前面说过，几何图形的特性完全由二次项决定，然而我们又不希望出现交叉项这样的二次项，希望得到一种“最简”的形式，这就是标准型和规范型

标准型：形如 a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + . . . + a n x n 2 a_1{x_1}^2+a_2{x_2}^2+...+a_n{x_n}^2 a1​x1​2+a2​x2​2+...+an​xn​2的二次型 规范型：形如 x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 {x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2 x1​2+x2​2+...+xn​2的二次型

对于同一个二次型 f ( A ) = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) A ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T f(\mathbf A)=(x_1,x_2,...,x_n)\mathbf A(x_1,x_2,...,x_n)^T f(A)=(x1​,x2​,...,xn​)A(x1​,x2​,...,xn​)T，我们变换观察的视角（在不同坐标系下看同一个几何图形），由于二次型的矩阵 A \mathbf A A（实对称矩阵）必可正交对角化，因此任何二次型可以通过[合同变换]化为标准型