对于一个试验，我们将其结果分为两类，成功或失败，当试验结果为成功时 X = 1 X=1 X=1，试验结果失为败时 X = 0 X=0 X=0。这样，随机变量 X X X的概率质量函数为： p ( 0 ) = P { X = 0 } = 1 − p p ( 1 ) = P { X = 1 } = p p(0) = P\{X=0\}=1-p \\ p(1) = P\{X=1\}=p p(0)=P{X=0}=1−pp(1)=P{X=1}=p 其中 0 ≤ p ≤ 1 0\le p \le 1 0≤p≤1是每次试验成功的概率。如果随机变量的概率质量函数为上式的形式，那么就称 X X X为伯努利随机变量。

  现在对于上述试验，假设进行 n n n次独立的重复试验，每次试验成功的概率为 p p p，失败的概率为 1 − p 1-p 1−p。现在我们令随机变量 X X X表示 n n n次试验中成功的次数，那么此时就称 X X X为参数是 ( n , p ) (n,p) (n,p)的二项随机变量，因此伯努利随机变量也是参数为 ( 1 , p ) (1,p) (1,p)的二项随机变量。二项随机变量的概率质量函数为： p ( i ) = ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i i = 0 , 1 , ⋯   , n p(i) = \begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i}\\ i = 0,1,\cdots,n p(i)=(ni​)pi(1−p)n−ii=0,1,⋯,n 根据二项式定理，可以得出概率和为1： ∑ i = 0 n p ( i ) = ∑ i = 0 n ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i = ( p + ( 1 − p ) ) n = 1 \sum_{i=0}^np(i) = \sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} = (p+(1-p))^n=1 i=0∑n​p(i)=i=0∑n​(ni​)pi(1−p)n−i=(p+(1−p))n=1

  首先来推导一下二项随机变量的期望和方差，根据期望的定义可得： E [ X ] = ∑ i = 0 n i ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i = ∑ i = 1 n i ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i E[X] = \sum_{i=0}^n i\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} = \sum_{i=1}^n i\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} E[X]=i=0∑n​i(ni​)pi(1−p)n−i=i=1∑n​i(ni​)pi(1−p)n−i 现在对这个式子进行化简，我们来看式子中的 i ( n i ) i\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix} i(ni​)： i ( n i ) = i ∗ n ! ( n − i ) ! ∗ i ! = n ∗ ( n − 1 ) ! ( n − i ) ! ∗ ( i − 1 ) ! = n ( n − 1 i − 1 ) i\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}=i*\cfrac{n!}{(n-i)!*i!} = \cfrac{n*(n-1)!}{(n-i)!*(i-1)!} = n\begin{pmatrix}n-1 \\i-1\end{pmatrix} i(ni​)=i∗(n−i)!∗i!n!​=(n−i)!∗(i−1)!n∗(n−1)!​=n(n−1i−1​) 将该式替换后，期望变为： E [ X ] = ∑ i = 1 n n ( n − 1 i − 1 ) p i ( 1 − p ) n − i E[X]= \sum_{i=1}^n n\begin{pmatrix}n-1 \\i-1\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} E[X]=i=1∑n​n(n−1i−1​)pi(1−p)n−i 令 j = i − 1 j = i-1 j=i−1，再提出适当的参数得： E [ X ] = n p ∑ j = 0 n − 1 ( n − 1 j ) p j ( 1 − p ) n − 1 − j E[X]= np \sum_{j=0}^{n-1} \begin{pmatrix}n-1 \\j\end{pmatrix}p^j(1-p)^{n-1-j} E[X]=npj=0∑n−1​(n−1j​)pj(1−p)n−1−j 观察右边的式子 ( n − 1 j ) p j ( 1 − p ) n − 1 − j \begin{pmatrix} n-1\\ j\end{pmatrix} p^j(1-p)^{n-1-j} (n−1j​)pj(1−p)n−1−j可以看出， J J J是一个参数为 ( n − 1 , p ) (n-1,p) (n−1,p)的二项随机变量，对这个式子求和的结果就是 1 1 1，因此上述期望为： E [ X ] = n p E[X] = np E[X]=np   现在来推导 X X X的方差，在这之前先考虑 X k X^k Xk的期望： E [ X k ] = ∑ i = 0 n i k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i = ∑ i = 1 n i k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i E[X^k] = \sum_{i=0}^n i^k\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} = \sum_{i=1}^n i^k\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} E[Xk]=i=0∑n​ik(ni​)pi(1−p)n−i=i=1∑n​ik(ni​)pi(1−p)n−i 同样，根据上面的过程我们最终能够得到： E [ X k ] = ∑ i = 1 n i k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i = n p ∑ j = 0 n − 1 ( j + 1 ) k − 1 ( n − 1 j ) p j ( 1 − p ) n − 1 − j = n p E [ ( J + 1 ) k − 1 ] \begin{aligned} E[X^k] &= \sum_{i=1}^n i^k\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} \\ &=np \sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}\begin{pmatrix}n-1 \\j\end{pmatrix}p^j(1-p)^{n-1-j}\\ &=npE[(J+1)^{k-1}] \end{aligned} E[Xk]​=i=1∑n​ik(ni​)pi(1−p)n−i=npj=0∑n−1​(j+1)k−1(n−1j​)pj(1−p)n−1−j=npE[(J+1)k−1]​ 其中 J J J是一个参数为 ( n − 1 , p ) (n-1,p) (n−1,p)的二项随机变量，令 k = 2 k=2 k=2则有： E [ X 2 ] = n p E [ J + 1 ] = n p ∗ [ ( n − 1 ) p + 1 ] E[X^2] = npE[J+1] = np*[(n-1)p+1] E[X2]=npE[J+1]=np∗[(n−1)p+1] 根据方差和期望的关系可知： V a r ( X ) = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = n p ∗ [ ( n − 1 ) p + 1 ] − n p = n p ( 1 − p ) Var(X)=E[X^2]-E[X]^2 = np*[(n-1)p+1]-np = np(1-p) Var(X)=E[X2]−E[X]2=np∗[(n−1)p+1]−np=np(1−p)

那么到现在，二项随机变量的期望和方差便推导完毕了： E [ X ] = n p V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) E[X] = np\\ Var(X) = np(1-p) E[X]=npVar(X)=np(1−p)   二项随机变量的概率质量函数的一个重要性质：如果 X X X是一个参数为 ( n , p ) (n,p) (n,p)的二项随机变量 ( 0 < p < 1 ) (0\lt p\lt 1) (0X=k}−P{X=k−1}的正负来证明: P { X = k } − P { X = k − 1 } ≥ 0 P\{X=k\}-P\{X=k-1\}\ge 0 P{X=k}−P{X=k−1}≥0 带入公式得： ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≥ ( n k − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) n − k + 1 \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\ge \begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1} (nk​)pk(1−p)n−k≥(nk−1​)pk−1(1−p)n−k+1 化简后得： p ( n − k + 1 ) ≥ k ( 1 − p ) p(n-k+1)\ge k(1-p) p(n−k+1)≥k(1−p) 即当 k ≤ ( n + 1 ) p k\le (n+1)p k≤(n+1)p的时候，函数是递增的，在该点取最大值，超过该点则递减。通过讨论还能够得到 P { X = k } P\{X=k\} P{X=k}和 P { X = k − 1 } P\{X=k-1\} P{X=k−1}的递推公式： P { X = k } = p ( n − k + 1 ) ( 1 − p ) k P { X = k − 1 } P\{X=k\} =\cfrac{p(n-k+1)}{(1-p)k} P\{X=k-1\} P{X=k}=(1−p)kp(n−k+1)​P{X=k−1}

  根据分布函数的定义可以轻松列出分布函数的求法： P { X ≤ i } = ∑ k = 0 i ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P\{X\le i\} = \sum_{k = 0}^i\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k} P{X≤i}=k=0∑i​(nk​)pk(1−p)n−k 通过上述的 P { X = k } P\{X=k\} P{X=k}和 P { X = k − 1 } P\{X=k-1\} P{X=k−1}的递推公式便可轻易地编写计算分布函数的计算程序。

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross