一、

知识清单梳理

知识点一：二次函数的概念及解析式

关键点拨与对应举例

1

.

一

次

函

数的定义

形如

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

 (

a

，

b

，

c

是常数，

a

≠0)

的函数，叫做二次函数

.

例：如果函数

y

=(

a

－

1)

x

2

是二

次函数，

那么

a

的取值范围是

a

≠0

. 

2

.

解析式

（

1

）三种解析式：①一般式：

y=ax

2

+bx+c;

②顶点式：

y=a(x

-

h)

2

+k(a

≠

0)

，其中

二次函数的顶点坐标是（

h

,

k

）

; 

③交点式：

y=a(x

-

x

1

)(x

-

x

2

),

其中

x

1

,x

2

为抛物

线与

x

轴交点的横坐标

.

（

2

）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系

数的方程（组）

；解方程（组）

，求出待定系数的值，从而求出函数的解析

式

.

若已知条件是图象上的三个

点或三对对应函数值，

可设一

般式；

若已知顶点坐标或对称

轴方程与最值，可设顶点式；

若已知抛物线与

x

轴的两个交

点坐标，可设交点式

.

知识点二

：二次函数的图象与性质

3.

二

次

函

数的图象

和性质

图象

（

1

）比较二次函数函数值大

小的方法：①直接代入求值

法；②性质法：当自变量在对

称轴同侧时，

根据函数的性质

判断；

当自变量在对称轴异侧

时，

可先利用函数的对称性转

化到同侧，再利用性质比较；

④图象法：画出草图，描点后

比较函数值大小

. 

失分点警示

（

2

）在自变量限定范围求二

次函数的最值时，

首先考虑对

称轴是否在取值范围内，

而不

能盲目根据公式求解

. 

例：当

0

≤

x

≤

5

时，抛物线

y=x

2

+2x+7

的最小值为

7 

.

开口

向

上

向

下

对

称

轴

x

＝

2

b

a



顶

点

坐标

2

4

,

2

4

b

ac

b

a

a

















增

减

性

当

x

>

2

b

a



时，

y

随

x

的增大而

增大

；

当

x

＜

2

b

a



时，

y

随

x

的增大而

减小

.

当

x

>

2

b

a



时，

y

随

x

的增大而

减小

；

当

x

＜

2

b

a



时，

y

随

x

的增大而

增大

.

最值

x=

2

b

a



，

y

最小

＝

2

4

4

ac

b

a



.

x

=

2

b

a



，

y

最大

＝

2

4

4

ac

b

a



.

3.

系数

a

、

b

、

c

a

决定抛物线的开口方

向及开口大小

当

a

＞

0

时，抛物线开口向上；

当

a

＜

0

时，抛物线开口向下

.

某些特殊形式代数式的符号：

①

a

±

b+c

即为

x=

±

1

时，

y 

的值；②

4a

±

2b+c

即为

x=

±

2

时，

y

的值

. 

③

2a+b

的符号，

需判断对称

轴

-b/2a

与

1

的大小

.

若对称轴

在直线

x=1

的左边，则

-b/2a

＞

1

，再根据

a

的符号即可得

出结果

.

④

2a-b

的符号，需判

断对称轴与

-1

的大小

. 

a

、

b

决定对称轴（

x=

-

b/2a

）

的位置

当

a

，

b

同号，

-

b/2a

＜

0

，对称轴在

y

轴左边；

当

b

＝

0

时，

-

b/2a=0

，对称轴为

y

轴；

当

a

，

b

异号，

-

b/2a

＞

0

，对称轴在

y

轴右边．

c

决定抛物线与

y

轴的交

点的位置

当

c

＞

0

时，抛物线与

y

轴的交点在正半轴上；

当

c

＝

0

时，抛物线经过原点；

当

c

＜

0

时，抛物线与

y

轴的交点在负半轴上

.

b

2

－

4

ac

决定抛物线与

x

轴的交

点个数

b

2

－

4

ac

＞

0

时，抛物线与

x

轴有

2

个交点

;

b

2

－

4

ac

＝

0

时，抛物线与

x

轴有

1

个交点

;

b

2

－

4

ac

＜

0

时，抛物线与

x

轴没有交点

x

y

y

=

ax

2

+

bx

+

c

(

a

＞

0)

O

x

y

y

=

ax

2

+

bx

+

c

(

a

＜

0)

O