概率论的学习和整理11：伯努利试验对应分布：0 |
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概率论的学习和整理11：伯努利试验对应分布：0
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目录 1 伯努利试验 1.1 什么是伯努利试验 1.2 伯努利试验相关的3种分布 2 关于0-1分布 (也称为伯努利分布 \ ab分布 \ 两点分布等) 2.1 0-1分布的基本概率和公式 2.2 0-1分布的概率分布图，pdf 和 cdf 2.3 0-1分布的期望和方差 3 几何分布 3.1 什么是几何分布 4 二项分布 4.1 什么是二项分布 和N重伯努利试验 4.2 二项分布的公式 4.3 二项分布的两个概率的概念理解 4.4 二项分布概率分布函数 4.4.1 二项分布的pdf 和cdf 如图 4.4.2 二项分布的pdf 的变化 4.5 二项分布的期望和方差 4.6 二项分布的一个例题 二项分布的概率，期望，方差 基础实验数值变化的对比 概率 期望 方差的几种计算方式对比 1 伯努利试验 1.1 什么是伯努利试验伯努利试验 伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场。每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种伯努利概型是一种基于独立重复试验的概率模型，它的基本特征： 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种每次试验中，相同事件发生的概率均一样。(试验样本总数和概率不能变)各次重复试验的结果是相互独立，互不影响的。1重伯努利试验 就是 0-1分布n 重伯努利试验 就是二项分布 p=C(n,k)*p^k*(1-p)^n-kN重伯努利试验 和二项分布 优势 不要求具体的样本总量的具体 数量只需要知道概率就行，但要求概率是稳定不变的（多次伯努利试验时）还需要知道 抽样试验的次数，目标事件的次数局限性 能不能用二项分布先判断，是不是符合N重伯努利试验，如果不符合就没戏二项分布，伯努利试验，需要保证样本容量确定，且分布也要稳定，否则不能必须是放回抽样如果是不放回抽样， 要么认为样本极其大，忽略样本总量变化，概率变化不稳定的影响要么得用超几何分布使用时注意点 需要严格认识的地方：N次试验，每次试验都稳定，样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验，才能用二项分布不放回抽样，一般不适合二项分布因为小样本量前提下，不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率，发生变化！第2次试验无法和第1次相同了如果样本量足够大，即使是不放会抽样，可以用二项分布近似 1.2 伯努利试验相关的3种分布 0-1分布只进行1次伯努利试验的随机变量，符合0-1分布，f(x=k)=p^k*(1-p)^(1-k)k={0,1} 几何分布：进行n次伯努利试验，只有最后1次成功，成功次数第N次,N符合几何分布f(x=k)=p*(1-p)^(k-1)其中 k 是总试验次数，一共进行了k次，且第k次（也就是最后1次）成功 二项分布：进行N次伯努利试验，有k次成功，成功次数k符合二项分布f(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p） 2 关于0-1分布 (也称为伯努利分布 \ ab分布 \ 两点分布等) 2.1 0-1分布的基本概率和公式0-1分布：只进行1次伯努利试验的随机变量，结果只有2种，符合0-1分布 一个随机事件，发生记为k=1，不发生记为k=0，若事件服从0-1分布， 则k的分布律为： k 0 1 p(k) 1-p p 0-1分布的概率公式 f(x)=p^k*(1-p)^(1-k)k={0,1}其实就是 k=1时，f(x)=p k=0时，f(x)=1-p 2.2 0-1分布的概率分布图，pdf 和 cdf 0-1分布，因为只有1次试验只有两种结果所以分布图看起来就是这种直线。。。。 kp1p2p3p4p5pdf00.90.80.50.20.1 10.10.20.50.80.9cdf00.90.80.50.20.1 111111
3 几何分布 3.1 什么是几何分布 几何分布就是一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。 详细地说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。 首先几何分布，属于古典概型/ 伯努利试验特点是：只有每次试验只可能有两种结果如果只做1次试验，那是属于0-1分布，但是如果做N次试验，但是只有最后一次成功，则随机变量符合 几何分布，但是如果做N次试验，没其他限制，则随机变量符合 二项分布由上可知，0-1分布，几何分布，应该都可以归纳为，二项分布的一种特例。 4 二项分布 4.1 什么是二项分布 和N重伯努利试验 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。其实，只有符合N重伯努利试验的随机变量，才可能服从二项分布！ 二项分布包含0-1分布和几何分布当n=1时，二项分布就是伯努利分布，也就是0-1分布，如果只有最后一次成功又是几何分布。 4.2 二项分布的公式 一般地，如果随机变量服从参数为和的二项分布，我们记为或。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出： p(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p）式中k=0，1，2，…而C(n,k)= n!/(n-k)!*k! 是二项式系数,（这就是二项分布名称的由来） 该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(p)和n−k次失败(1 −p)。并且，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有个C(n,k)不同的方法。 4.3 二项分布的两个概率的概念理解 二项分布，指的是N次试验里成功k次的概率符合二项分布而内部的单次试验，是伯努利试验，其单次试验的概率p，是稳定不变的。 N 次试验里成功k次的概率的 k~~p(k) 情况 p(k) 是 表示多次试验，且要求（n次出k次成功）的概率p(k) 和单次试验的概率P不要混淆 4.4 二项分布概率分布函数 4.4.1 二项分布的pdf 和cdf 如图 二项分布的pdf二项分布的cdf
先看下整体图 纵向是，单次伯努利试验的p提升横向是，试验次数n的增加内部里面是，坐标系的横轴是 n次试验成功次数k，k的概率变化
纵向看 在总试验次数不变的前提下，随着 单次伯努利试验里，概率p的增加整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率越大，n次试验内成功k次，k也会越大，符合直觉）概率很小的时候，可能只成功0次，1次的概率很大，概率很大的时候，试验n次,k次成功的k越来越大，甚至接近n了横向看 在单次伯努利试验里，概率p不变的前提下，随着试验次数的增多整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率不变，n次试验内成功k次，试验次数n越多，k也会越大，符合直觉）但是概率不变前提下， 虽然成功的次数k变多了，但比例并不变（因为基础的单次伯努利试验的概率没变，这是横向变化的前提）
缺乏推导过程 4.6 二项分布的一个例题 如果像利用二项分布，需要灵活的去划分样本空间为2种结果，比如例题中的这样划分2种：这次抽样后需要调整机器 == 对应的变量是本次检验，次品数量>1 今天某次检查次品数>1==今天需要调整机器 / 对立今天不调整机器每天检查4次，相当于做了4次伯努利试验方法1，完全用了二项分布思路和解法方法2，用了古典概型的，每次试验都是独立的，和加法原理加起来算的 注意，为了达到目标事件，事件可能需要几次户型转化，随机变量可能要转化几次
基础试验概率p=0.05 时
基础试验概率p=0.7 时
概率 期望 期望的几种计算方式对比
方差的几种计算方式对比
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