高数复习(2) |
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(非证明,仅供理解) ---------------------------公式-----------------------------方向导数: 梯度: 方向导数: 放在空间坐标系中的曲面 z = f( x , y ) 上理解 在 l 方向上这个曲面的变化量直接算当然很难, 但是可以把这个方向向量正交分解到x轴和y轴 计算出在x轴、y轴上变化了多少(也就是对x、y的偏导),然后进行一定比例的叠加 这个叠加比例就是此方向向量的方向余弦余弦 梯度: 也是基于前一点的理解,方向导数的式子可以等价为向量的点乘: 此时的后者就是前者的方向余弦,因此直接把前者拿出来,定义它叫做梯度 (然后不断在脑子里强调,这个就是曲面此点增量最大的方向) ---------------------------总结-----------------------------其实式子都很简单直接背都可以,但是从几何上知道它的直观体现还是很有帮助的 ---------------------------经典题型-----------------------------因此根据梯度求轨迹,实际上设某轨迹的每点切向( dx , dy ) 与梯度 ( fx’ , fy’ ) 平行, 化为代数表达式也就是 dx/dy = fx’/fy’ 求微分方程就可以了 这里可能会规定这个轨迹过哪个点,决定了微分方程的常数 它代表着一个柱面(xOy平面的曲线沿z轴生成),与原来的曲面联立就是空间的曲线了 |
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